তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

দুটি পথ ধরে দুই অবস্থার মধ্যে কাজ ও তাপ

অনুশীলনী 11 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

  • চাপবলগুলির কাজ
  • তাপ
  • সমতাপ রূপান্তর
  • সমআয়তন রূপান্তর
  • ক্ল্যাপেরন লেখচিত্র
  • সম্পূর্ণ অন্তরক
  • আদর্শ গ্যাস

প্রশ্ন

U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT অভ্যন্তরীণ শক্তিবিশিষ্ট nn মোল একপরমাণুক আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক। A(T1,V1)A(T_1,V_1) অবস্থাকে B(T2,V2)B(T_2,V_2) অবস্থার সঙ্গে দুটি অর্ধ-স্থিতিশীল পথে যুক্ত করা হয়, যেখানে প্রতিটি মুহূর্তে Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P:

  • Γ1\Gamma_1: T1T_1 তাপমাত্রায় V1V_1 থেকে V2V_2 পর্যন্ত সমতাপ প্রসারণ, তারপর V2V_2 আয়তনে T1T_1 থেকে T2T_2 পর্যন্ত সমআয়তন রূপান্তর;
  • Γ2\Gamma_2: V1V_1 আয়তনে T1T_1 থেকে T2T_2 পর্যন্ত সমআয়তন রূপান্তর, তারপর T2T_2 তাপমাত্রায় V1V_1 থেকে V2V_2 পর্যন্ত সমতাপ প্রসারণ।

  1. T2>T1T_2>T_1 ও V2>V1V_2>V_1 ক্ষেত্রে ক্ল্যাপেরন (P,V)(P,V) লেখচিত্রে Γ1\Gamma_1 ও Γ2\Gamma_2 পথ দুটি উপস্থাপন করুন। মধ্যবর্তী অবস্থাগুলি এবং পথ অতিক্রমের দিক নির্দেশ করুন।
  2. পথ দুটির প্রতিটি বরাবর গ্যাসের গৃহীত কাজ W1W_1 ও W2W_2 নির্ণয় করুন। তাদের পার্থক্য W1−W2W_1-W_2 কত?
  3. সমাকলন দুটি আলাদাভাবে আবার না করে ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে পথ দুটির মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল থেকে জ্যামিতিকভাবে W1−W2W_1-W_2 পুনরুদ্ধার করুন।
  4. পথ দুটির প্রতিটির জন্য ΔU\Delta U নির্ণয় করুন, তারপর সেখান থেকে Q1Q_1 ও Q2Q_2 বের করুন। δQ\delta Q-এর প্রকৃতি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত দিন।
  5. সাংখ্যিক প্রয়োগ: n=1n=1 mol, T1=300T_1=300 K, T2=600T_2=600 K এবং V2=2V1V_2=2V_1।

ইঙ্গিত
ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে সমআয়তন রেখা উল্লম্ব এবং আদর্শ গ্যাসের সমতাপ রেখা P=nRT/VP=nRT/V মেনে চলে। T2T_2 তাপমাত্রার সমতাপ রেখাটি T1T_1 তাপমাত্রার রেখার উপরে থাকে। সমআয়তন রূপান্তর চাপবলগুলির কাজে কোনো অবদান রাখে না। প্রশ্ন ৩-এর জন্য, গ্যাসের গৃহীত কাজ (P,V)(P,V) লেখচিত্রে পথটির নিচের বীজগাণিতিক ক্ষেত্রফলের বিপরীত।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান
প্রশ্ন ১। Γ1\Gamma_1 পথের মধ্যবর্তী অবস্থাকে CC এবং Γ2\Gamma_2 পথের মধ্যবর্তী অবস্থাকে DD বলি। তাদের চাপ ও আয়তন হলো

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

যেহেতু T2>T1T_2>T_1, তাই T2T_2 সমতাপ রেখাটি T1T_1 সমতাপ রেখার উপরে। Γ1\Gamma_1 পথটি AA থেকে CC পর্যন্ত নিচের T1T_1 সমতাপ রেখা ধরে ডান দিকে, তারপর V2V_2 সমআয়তন রেখা ধরে CC থেকে BB পর্যন্ত উল্লম্বভাবে আঁকা হয়। Γ2\Gamma_2 পথটি প্রথমে V1V_1 সমআয়তন রেখা ধরে AA থেকে DD পর্যন্ত উল্লম্বভাবে উপরে ওঠে, তারপর উপরের T2T_2 সমতাপ রেখা ধরে DD থেকে BB পর্যন্ত ডান দিকে যায়। সুতরাং পথ দুটির তিরচিহ্ন হলো

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে _1 ও _2 পথ। ধূসর বক্ররেখাগুলি T_1 ও T_2 সমতাপ রেখাকে প্রসারিত করেছে।
চিত্র 1. ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে Γ1\Gamma_1 ও Γ2\Gamma_2 পথ। ধূসর বক্ররেখাগুলি T1T_1 ও T2T_2 সমতাপ রেখাকে প্রসারিত করেছে।

প্রশ্ন ২। গ্যাসের গৃহীত কাজের চিহ্নরীতি অনুসারে, δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V। সমআয়তন রূপান্তর কোনো অবদান রাখে না এবং TT তাপমাত্রার একটি সমতাপ রূপান্তরে,

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

অতএব পাই

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

এবং তারপর

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা অভিন্ন, কিন্তু কাজগুলি ভিন্ন: δW\delta W সম্পূর্ণ অন্তরক নয়।

প্রশ্ন ৩। সমআয়তন রেখাগুলি কোনো ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে না। গৃহীত কাজ বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফলের বিপরীত হওয়ায় W1−W2W_1-W_2 পার্থক্যটি T2T_2 ও T1T_1 সমতাপ রেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

এভাবে প্রশ্ন ২-এর ফলটিই আবার পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৪। একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি শুধু তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে। তাই পথ দুটিতে এর পরিবর্তন একই:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

প্রথম সূত্র ΔU=W+Q\Delta U=W+Q থেকে Q=ΔU−WQ=\Delta U-W, অতএব

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

সুতরাং,

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

বিনিময় হওয়া তাপও পথের উপর নির্ভরশীল: dU\mathrm{d}U-এর বিপরীতে δQ\delta Q সম্পূর্ণ অন্তরক নয়।

প্রশ্ন ৫। ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693 হলে,

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Γ2\Gamma_2 পথে গ্যাস দ্বিগুণ কাজ প্রদান করে এবং সেই অনুপাতে অতিরিক্ত তাপ গ্রহণ করে।