তাপগতিবিদ্যার সমাধানকৃত অনুশীলনী

দুটি পথ ধরে দুই অবস্থার মধ্যে কাজ ও তাপ

অনুশীলনী 19 · পাঠ 5 — আদর্শ গ্যাসে প্রয়োগ

চাপবলগুলির কাজ
তাপ
সমতাপ রূপান্তর
সমআয়তন রূপান্তর
ক্ল্যাপেরন লেখচিত্র
সম্পূর্ণ অন্তরক
আদর্শ গ্যাস

প্রশ্ন

$U = \frac{3}{2} n R T$ অভ্যন্তরীণ শক্তিবিশিষ্ট $n$ মোল একপরমাণুক আদর্শ গ্যাস বিবেচনা করা যাক। $A (T_{1}, V_{1})$ অবস্থাকে $B (T_{2}, V_{2})$ অবস্থার সঙ্গে দুটি অর্ধ-স্থিতিশীল পথে যুক্ত করা হয়, যেখানে প্রতিটি মুহূর্তে $P_{ext} = P$ :

$Γ_{1}$ : $T_{1}$ তাপমাত্রায় $V_{1}$ থেকে $V_{2}$ পর্যন্ত সমতাপ প্রসারণ, তারপর $V_{2}$ আয়তনে $T_{1}$ থেকে $T_{2}$ পর্যন্ত সমআয়তন রূপান্তর;
$Γ_{2}$ : $V_{1}$ আয়তনে $T_{1}$ থেকে $T_{2}$ পর্যন্ত সমআয়তন রূপান্তর, তারপর $T_{2}$ তাপমাত্রায় $V_{1}$ থেকে $V_{2}$ পর্যন্ত সমতাপ প্রসারণ।

$T_{2} > T_{1}$ ও $V_{2} > V_{1}$ ক্ষেত্রে ক্ল্যাপেরন $(P, V)$ লেখচিত্রে $Γ_{1}$ ও $Γ_{2}$ পথ দুটি উপস্থাপন করুন। মধ্যবর্তী অবস্থাগুলি এবং পথ অতিক্রমের দিক নির্দেশ করুন।
পথ দুটির প্রতিটি বরাবর গ্যাসের গৃহীত কাজ $W_{1}$ ও $W_{2}$ নির্ণয় করুন। তাদের পার্থক্য $W_{1} - W_{2}$ কত?
সমাকলন দুটি আলাদাভাবে আবার না করে ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে পথ দুটির মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল থেকে জ্যামিতিকভাবে $W_{1} - W_{2}$ পুনরুদ্ধার করুন।
পথ দুটির প্রতিটির জন্য $Δ U$ নির্ণয় করুন, তারপর সেখান থেকে $Q_{1}$ ও $Q_{2}$ বের করুন। $δ Q$ -এর প্রকৃতি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত দিন।
সাংখ্যিক প্রয়োগ: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K এবং $V_{2} = 2 V_{1}$ ।

ইঙ্গিত

ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে সমআয়তন রেখা উল্লম্ব এবং আদর্শ গ্যাসের সমতাপ রেখা

P = n R T / V

মেনে চলে।

T_{2}

তাপমাত্রার সমতাপ রেখাটি

T_{1}

তাপমাত্রার রেখার উপরে থাকে। সমআয়তন রূপান্তর চাপবলগুলির কাজে কোনো অবদান রাখে না। প্রশ্ন ৩-এর জন্য, গ্যাসের গৃহীত কাজ

(P, V)

লেখচিত্রে পথটির নিচের বীজগাণিতিক ক্ষেত্রফলের বিপরীত।

বিস্তারিত সমাধান

সমাধান

প্রশ্ন ১।

Γ_{1}

পথের মধ্যবর্তী অবস্থাকে

C

এবং

Γ_{2}

পথের মধ্যবর্তী অবস্থাকে

D

বলি। তাদের চাপ ও আয়তন হলো

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

যেহেতু $T_{2} > T_{1}$ , তাই $T_{2}$ সমতাপ রেখাটি $T_{1}$ সমতাপ রেখার উপরে। $Γ_{1}$ পথটি $A$ থেকে $C$ পর্যন্ত নিচের $T_{1}$ সমতাপ রেখা ধরে ডান দিকে, তারপর $V_{2}$ সমআয়তন রেখা ধরে $C$ থেকে $B$ পর্যন্ত উল্লম্বভাবে আঁকা হয়। $Γ_{2}$ পথটি প্রথমে $V_{1}$ সমআয়তন রেখা ধরে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত উল্লম্বভাবে উপরে ওঠে, তারপর উপরের $T_{2}$ সমতাপ রেখা ধরে $D$ থেকে $B$ পর্যন্ত ডান দিকে যায়। সুতরাং পথ দুটির তিরচিহ্ন হলো

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে _1 ও _2 পথ। ধূসর বক্ররেখাগুলি T_1 ও T_2 সমতাপ রেখাকে প্রসারিত করেছে। — চিত্র 1. ক্ল্যাপেরন লেখচিত্রে $Γ_{1}$ ও $Γ_{2}$ পথ। ধূসর বক্ররেখাগুলি $T_{1}$ ও $T_{2}$ সমতাপ রেখাকে প্রসারিত করেছে।

প্রশ্ন ২। গ্যাসের গৃহীত কাজের চিহ্নরীতি অনুসারে, $δ W = - P d V$ । সমআয়তন রূপান্তর কোনো অবদান রাখে না এবং $T$ তাপমাত্রার একটি সমতাপ রূপান্তরে,

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

অতএব পাই

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

এবং তারপর

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা অভিন্ন, কিন্তু কাজগুলি ভিন্ন: $δ W$ সম্পূর্ণ অন্তরক নয়।

প্রশ্ন ৩। সমআয়তন রেখাগুলি কোনো ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে না। গৃহীত কাজ বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফলের বিপরীত হওয়ায়

W_{1} - W_{2}

পার্থক্যটি

T_{2}

ও

T_{1}

সমতাপ রেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল:

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

এভাবে প্রশ্ন ২-এর ফলটিই আবার পাওয়া যায়।

প্রশ্ন ৪। একপরমাণুক আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি শুধু তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে। তাই পথ দুটিতে এর পরিবর্তন একই:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

প্রথম সূত্র $Δ U = W + Q$ থেকে $Q = Δ U - W$ , অতএব

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

সুতরাং,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

বিনিময় হওয়া তাপও পথের উপর নির্ভরশীল: $d U$ -এর বিপরীতে $δ Q$ সম্পূর্ণ অন্তরক নয়।

প্রশ্ন ৫।

ln 2 ≃ 0, 693

হলে,

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

$Γ_{2}$ পথে গ্যাস দ্বিগুণ কাজ প্রদান করে এবং সেই অনুপাতে অতিরিক্ত তাপ গ্রহণ করে।