تطبيق على الغاز المثالي

صيغ المبدأ الأول إلى حد الآن دون افتراض نموذج خاص للنظام. ويكتب لنظام مغلق لا تتغير طاقته الحركية ولا طاقته الكامنة العيانيتان كما يلي:

$$\Delta U=Q+W.$$

لكن هذه العلاقة لا تكفي لحساب $\Delta U$، مثلما لا يتنبأ قانون نيوتن الثاني بتطور نظام ما ما لم تعرف القوى المؤثرة فيه. ولذلك يجب أن نميز أيضا النظام المدروس؛ وسنفعل ذلك الآن بالنسبة إلى الغاز المثالي.

1. معادلات حالة الغاز المثالي

إحدى معادلات حالة الغاز المثالي هي

وكما رأينا في الدرس 2، فإن هذه العلاقة ثمرة تاريخ طويل من الدراسات التجريبية. وهي لا تخبرنا في حد ذاتها بشيء عن الطاقة الداخلية للغاز. ولهذا الغرض تلزم تجارب أخرى. ويعرض القسم التالي، الذي يمكن تجاوزه في القراءة الأولى، المنهج التجريبي المؤدي إلى الصيغة الأساسية الأخرى للغاز المثالي:

حيث $c_V$ ثابت سنعود إليه، و $U_0(n)$ حد مرجعي مستقل عن درجة الحرارة. لاحظوا منذ الآن أن الصياغة الديناميكية الحرارية لا تتيح اشتقاق معادلتي الحالة هاتين. لكن الفيزياء الإحصائية ستتيح استعادتهما انطلاقا من نموذج مجهري.

1.1. تمدد جول-غاي لوساك

تتمثل التجربة الأساسية في رصد تمدد غاز في الفراغ. ويستعمل عمليا غاز مخلخل بما يكفي لتقليل التآثرات بين الجزيئات، ومن ثم الاقتراب من نموذج الغاز المثالي. يقسم وعاء صلب ومعزول حراريا إلى حجرتين. تحتوي الأولى غازا في حالة توازن، وتكون الثانية فارغة. يزال الحاجز الفاصل بينهما، وينتظر حتى يستقر توازن جديد، ثم تحدد خصائصه تجريبيا.

كان غاي لوساك أول من أجرى هذا النوع من التجارب في بداية القرن XIX^e؛ ثم أعادها جول لاحقا، نحو سنة 1845. والنتيجة التجريبية المهمة هي عدم ملاحظة أي تغير في درجة حرارة الغاز بين الحالة الابتدائية والحالة النهائية. وفي الواقع يبقى تغير طفيف في الغاز الحقيقي، وقد يكون موجبا أو سالبا بحسب الغاز والشروط؛ لكنه يؤول إلى الصفر حين تنخفض الكثافة. ولذلك نقاد في النموذج المثالي إلى اعتبار $T_B=T_A$ بالضبط.

ولتفسير هذه النتيجة، ننظر فيما يقوله المبدأ الأول. ينتشر الغاز في الفراغ، فيكون الضغط الخارجي منعدما ومن ثم $W=0$. كما أن جدران النظام معزولة حراريا، ولذلك يكون $Q=0$ أيضا. فيفرض المبدأ الأول عندئذ

$$\Delta U=0.$$

لنفترض إذن، مؤقتا، أن الطاقة الداخلية يمكن أن تكتب على الصورة $U=U(T,V,n)$؛ وسنسوغ اختيار هذه المتغيرات بعد إقامة المبدأ الثاني. ولما كان النظام مغلقا، كان $n$ ثابتا. وعند تكرار التجربة بأحجام ابتدائية ونهائية مختلفة، يتبين أن الطاقة الداخلية لا تتغير، عند ثبوت درجة الحرارة (لأن $T_B=T_A$)، حين يتغير الحجم ($\Delta U=0$). ومنه

وتعرف هذه الخاصية بـ قانون جول: لا تتعلق الطاقة الداخلية للغاز المثالي بحجمه. لكن هذه التجربة لا تعطي بعد شكل الدالة $U(T,n)$.

1.2. الطاقة الداخلية للغاز المثالي

لإيجاد شكل $U$، نعتبر تجربة ثانية. نسخن كمية معلومة من الغاز في وعاء صلب. وعند الحجم الثابت يكون شغل قوى الضغط منعدما؛ فتساوي الطاقة $Q$ المقدمة إلى الغاز تغير طاقته الداخلية. وبتقديم كميات صغيرة من الطاقة وقياس الارتفاع الموافق في درجة الحرارة، نعين تجريبيا السعة الحرارية المولية عند حجم ثابت

تتعلق هذه السعة مبدئيا بدرجة الحرارة. ويصعب قياسها مباشرة، لأن السعة الحرارية للغاز صغيرة مقارنة بسعة الوعاء والمسعر الحرارية. ومع ذلك يمكن إجراء هذا القياس، بل يمكن إظهار أن $c_V(T)$ ثابتة تقريبا للغاز المخلخل. وباعتبارها ثابتة تماما، يمكن مكاملة العلاقة السابقة، فنجد

وعند ثبوت كمية المادة تعطي المكاملة إذن

$$U(T,n)=n c_V T+U_0(n),$$

حيث يكون الحد المرجعي $U_0(n)$ مستقلا عن درجة الحرارة. وعند ثبوت كمية المادة، يمكن اختيار أصل الطاقة الداخلية بحيث يكون $U_0(n)=0$، لأن تغيرات $U$ وحدها هي التي تدخل في الحساب. فنستعيد عندئذ $U=n c_V T$. وعند درجات الحرارة المعتادة، يقاس $c_V\simeq 3R/2$ للغاز أحادي الذرة مثل الهيليوم المخلخل، و $c_V\simeq 5R/2$ لكثير من الغازات ثنائية الذرة، حيث $R$ ثابتة الغاز المثالي. وسنعود لاحقا إلى قيم $c_V$.

2. تطبيق المبدأ الأول على الغاز المثالي

يمكننا الآن تحديد تغيرات الطاقة الداخلية، وكذلك الشغل والحرارة المتبادلين أثناء التحولات المعتادة لغاز مثالي. وسنقتصر على نظام مغلق لا تتغير طاقته الحركية ولا طاقته الكامنة العيانيتان، ويكون شغله الوحيد هو شغل قوى الضغط. وتعطي نتائج الدرس 4

ونفترض أيضا في الحسابات التالية أن التحول شبه ساكن: فيتبع النظام مسارا على سطح حالات التوازن. وسنفترض أيضا فيما يأتي أنه يمكن مطابقة الضغط الخارجي $P_{\mathrm{ext}}$ مع ضغط الغاز $P$. وهذه فرضية حاسمة: ففي تحول عنيف قد لا يكون ضغط الغاز منتظما، ويكون تعويض $P_{\mathrm{ext}}$ بـ $P$ غير صحيح. وسنعود إلى هذه الفرضية عند دراسة المبدأ الثاني والتحولات المسماة انعكاسية أو لا انعكاسية.

2.1. تحول ثابت الحجم

في تحول ثابت الحجم يكون $dV=0$. ومن ثم يكون شغل قوى الضغط منعدما: $W=0$. فيعطي المبدأ الأول

حين يتلقى الغاز حرارة ($Q>0$) ترتفع درجة حرارته، والعكس بالعكس. وهذا أساسا ما يحدث عند تسخين الهواء في فرن (إذا اعتبرناه مغلقا، مع أنه ليس كذلك تماما).

2.2. تحول ثابت درجة الحرارة

إذا كانت درجة الحرارة ثابتة $T=T_0$، كان $\Delta U=0$ لأن $U$ لا تتعلق إلا بـ $T$. ومنه $Q=-W$. وباستخدام $P=\frac{nRT_0}{V}$ يكون الشغل المتلقى

$$W =- \int_{V_A}^{V_B}P\,dV = - \int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT_0}{V}\,dV$$

وهو ما يعطي

في التمدد، يكون $V_B>V_A$ ومن ثم $W<0$: يقدم الغاز شغلا، ويتلقى المقدار نفسه من الطاقة على صورة حرارة ($Q = - W >0$). وستستعمل مرحلة التمدد ثابت الحرارة هذه كثيرا في دورات القدرة المثالية. أما في الانضغاط فتنعكس الإشارات.

2.3. تحول ثابت الضغط

عند ضغط ثابت $P=P_0$، يكون الشغل المتلقى

ومن ناحية أخرى تعطي معادلة الحالة $PV=nRT$ $P_0(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)$، ومن ثم أيضا $W=-nR\Delta T$. ولما كان $Q=\Delta U-W$، نحصل على

تقود هذه العبارة بصورة طبيعية إلى تعريف السعة الحرارية المولية عند ضغط ثابت، ويرمز إليها بـ $c_P$، بواسطة العلاقة $Q=nc_P\Delta T$ في تحول ثابت الضغط. وللغاز المثالي

وهي علاقة سنراها مرة أخرى لاحقا (علاقة ماير). ونعرف أيضا النسبة

المسماة معامل ثبات الاعتلاج للغاز. وتبين علاقة ماير أن $\gamma >1$. فلغاز أحادي الذرة، حيث $c_V=3R/2$، نجد $c_P=5R/2$ و $\gamma=5/3$. ولغاز ثنائي الذرة، حيث $c_V=5R/2$، نجد $c_P=7R/2$ و $\gamma=7/5$. ولأن $c_P=c_V+R$، يمكن عكس هذه العلاقات فنحصل على

$$\boxed{ c_V=\frac{R}{\gamma-1}, \qquad c_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} }$$

وهي علاقات مفيدة جدا في الحسابات في كثير من الأحيان.

سنعود بصورة أكثر منهجية في الدرس 8 إلى السعتين الحراريتين $c_V$ و $c_P$، وتعريفهما العام وتفسيرهما. ويكفي حاليا أن نتذكر أن رفع درجة حرارة الكمية نفسها من الغاز بالقيمة نفسها عند ضغط ثابت يتطلب طاقة أكبر منه عند حجم ثابت: ففي الحالة الأولى يعاد جزء من الطاقة المتلقاة إلى المحيط على صورة شغل أثناء تمدد الغاز الذي لا مفر منه.

2.4. تحول كظوم

لنعتبر الآن تحولا كظوما، يكون فيه $Q=0$. وعلى خلاف الحالات السابقة، لا يمكن مباشرة إيجاد عبارتي $\Delta U$ و $W$ بين الحالتين الابتدائية والنهائية، لأن $\Delta U=W$، لكن الشغل يكتب

$$W=-\int_A^B P\,dV,$$

ولم يحدد بعد كيف يتغير الضغط $P$ مع الحجم. وللقيام بذلك، يجب الرجوع إلى الصيغة التفاضلية للمبدأ الأول، التي تربط التغيرات المتناهية في الصغر لـ $U$ و $P$ و $V$ على طول التحول. والاشتقاق التالي تمرين كلاسيكي جدا، وغالبا ما يطلب بصيغة «استخرج قوانين لابلاس للغاز المثالي انطلاقا من المبدأ الأول». وينصح بشدة بإعادة جميع الحسابات التالية كاملة.

بما أن $\delta Q=0$، فإن المبدأ الأول يعطي

$$dU=\delta W=-P\,dV.$$

أما للغاز المثالي المدروس هنا، فإن $dU=n c_V\,dT$. ومنه $n c_V\,dT=-P\,dV$. وباستخدام $PV=nRT$، أي $P=nRT/V$، والاختزال بـ $n$، نحصل على المعادلة التفاضلية

$$c_V\frac{dT}{T}=-R\frac{dV}{V}.$$

وتكامل مباشرة:

$$c_V\ln T+R\ln V=\mathrm{const}.$$

نقسم على $c_V$ ونلاحظ أن

$$\frac{R}{c_V} = \frac{c_P-c_V}{c_V} = \gamma-1.$$

فنحصل على

$$\ln T+(\gamma-1)\ln V=\mathrm{const},$$

أي

وبتعويض $PV=nRT$ من جديد في هذه العلاقة، يمكن الحصول على صورتين مكافئتين أخريين. وتكتب قوانين لابلاس الثلاثة، المتكافئة فيما بينها، على النحو الآتي:

وفي التطبيق نستعمل إحداها أو الأخرى بحسب معطيات المسألة. ويمكن حساب الشغل بطرائق عدة. وأكثرها مباشرة استعمال المبدأ الأول: بما أن $Q=0$، يكون $W=\Delta U$، ومنه

تفيد هذه العبارة إذا عرفت درجتا الحرارة الابتدائية والنهائية. ويمكن أيضا إيجاد الشغل بمكاملة قوى الضغط مباشرة. إذ يتيح قانون لابلاس $PV^\gamma=\mathrm{const}$ أن نكتب على طول التحول $P=K/V^\gamma$، حيث $K=P_AV_A^\gamma=P_BV_B^\gamma$. وعندئذ

$$W=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =-K\int_{V_A}^{V_B}V^{-\gamma}\,dV =\frac{K}{\gamma-1} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right).$$

تفيد هذه العبارة إذا عرف الحجمان الابتدائي والنهائي. ونلاحظ أيضا أن $KV_A^{1-\gamma}=P_AV_A$ و $KV_B^{1-\gamma}=P_BV_B$، وهو ما يعطي كذلك

وكل هذه العبارات متكافئة. في تمدد كظوم يقدم الغاز شغلا: $W<0$. فتنخفض طاقته الداخلية وتنخفض درجة حرارته. وعلى العكس، يرفع الانضغاط الكظوم درجة حرارته.

3. مخططات كلابيرون

لتصور تحولات الغاز، من المفيد جدا التمثيل في المستوى $(P,V)$، حيث توافق كل نقطة حالة توازن، ويحددها حجمها $V$ على محور الأفاصيل وضغطها $P$ على محور الأراتيب. ويسمى هذا التمثيل مخطط كلابيرون.

وتحدد درجة الحرارة عند كل نقطة بمعادلة الحالة $PV=nRT$. وبما أننا نعتبر دائما نظاما مغلقا، فإن $n$ ثابتة وتعطى عموما في نص المسألة. ومن المهم ملاحظة أن $T$ تتناسب مع الجداء $PV$: ولذلك تزداد كلما وقعت النقطة في منطقة من المخطط يكون فيها هذا الجداء كبيرا، أي عموما نحو الأعلى واليمين.

وفي ظل الفرضيات السابقة، يمثل تحول الغاز بمنحنى يصل الحالة الابتدائية $A$ بالحالة النهائية $B$. وهكذا يوفر مخطط كلابيرون تمثيلا هندسيا عمليا جدا للتحولات المدروسة أعلاه.

3.1. تمثيل التحولات المعتادة

تأخذ التحولات الأربعة السابقة أشكالا بسيطة جدا في المستوى $(P,V)$.

يمثل التحول ثابت الحجم، $V=V_0$، بقطعة مستقيمة رأسية، بينما يمثل التحول ثابت الضغط، $P=P_0$، بقطعة مستقيمة أفقية.

وفي التحول ثابت درجة الحرارة، تعطي معادلة الحالة $P(V)=nRT_0/V$: ومن ثم يكون المنحنى فرعا من قطع زائد.

وأخيرا، يخضع التحول الكظوم لقانون لابلاس $PV^\gamma=\mathrm{const}$، أي $P=K/V^\gamma$. ولما كان $\gamma>1$، فإن الضغط يتناقص مع الحجم على طول منحنى كظوم أسرع من تناقصه على طول منحنى ثابت درجة الحرارة. ويمكن رؤية ذلك مباشرة بمقارنة الميلين عند النقطة نفسها:

$$\left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{isoth}} =-\frac{P}{V}, \qquad \left(\frac{dP}{dV}\right)_{\mathrm{ad}} =-\gamma\frac{P}{V}.$$

إذن يكون منحنى الكظوم «أشد انحدارا» من منحنى ثابت درجة الحرارة.

3.2. مساران بين الحالتين نفسيهما

يتيح مخطط كلابيرون الآن تصور خاصية أساسية أثبتت في الدرس السابق: $U$ دالة حالة، في حين يعتمد $Q$ و $W$ على التحول المنجز.

لنعتبر مثلا الحالتين

$$A=(P_0,V_0), \qquad B=\left(\frac{P_0}{2},2V_0\right).$$

تعطي معادلة الغاز المثالي $T_A=T_B=T_0$، حيث $T_0=P_0V_0/(nR)$. ولما كانت الطاقة الداخلية للغاز المثالي لا تتعلق إلا بدرجة حرارته، فإن

$$\boxed{\Delta U_{A\to B}=0}$$

أيا كان التحول الواصل بين $A$ و $B$. ولنقارن الآن المسارين الممثلين في الشكل 2.

بالنسبة إلى المسار الأول $\mathcal P_1$، وهو تمدد مباشر ثابت درجة الحرارة، لدينا

$$W_1=-nRT_0\ln 2=-P_0V_0\ln 2.$$

وبما أن $\Delta U=0$، ينتج $Q_1=-W_1=P_0V_0\ln 2$.

أما في المسار الثاني $\mathcal P_2$، فينجز أولا التحول ثابت الضغط $A\to C$، ثم التحول ثابت الحجم $C\to B$. ويكون الشغل المتلقى على الفرع الأول $W_{AC}=-P_0V_0$، بينما $W_{CB}=0$. إذن

$$W_2=-P_0V_0, \qquad Q_2=P_0V_0.$$

فنجد أخيرا

للمسارين الطرفان نفساهما، ومن ثم تغير الطاقة الداخلية نفسه، لكنهما يؤديان إلى شغلين مختلفين وإلى انتقالين حراريين مختلفين بمقتضى المبدأ الأول.

3.3. الشغل مساحة تحت المنحنى

لاعتماد الشغل على المسار تفسير هندسي مباشر. فتحول شبه ساكن ممثل في مخطط كلابيرون يتلقى شغلا قدره

ويمثل التكامل $\int_A^B P\,dV$ المساحة الجبرية الواقعة تحت المنحنى الذي يصف التحول. ووفق اصطلاح الإشارات المعتمد، يكون الشغل الذي يتلقاه الغاز معاكسا لهذه المساحة.

ومن الضروري هنا تذكر أن ترتيب الحدين هو الذي يحدد إشارة التكامل. ففي تمدد من $A$ إلى $B$، مع $V_B>V_A$، يكون

$$W[A\to B]=-\int_{V_A}^{V_B}P\,dV<0 :$$

فيقدم الغاز شغلا إلى محيطه. وفي الانضغاط العكسي، يتبادل الحدان موضعيهما ويكون

$$W[B\to A] =-\int_{V_B}^{V_A}P\,dV =+\int_{V_A}^{V_B}P\,dV>0 :$$

فيتلقى الغاز شغلا. ولذلك يجب حتما بيان اتجاه اجتياز كل منحنى مرسوم في مخطط كلابيرون بسهم.

ويفسر هذا التصور أيضا بكل بساطة لماذا يؤدي المساران في الشكل 2 إلى شغلين مختلفين: فالمساحتان تحت المنحنيين غير متساويتين.

3.4. دورات القدرة ودورات التبريد

يعود النظام إلى حالته الابتدائية أثناء تحول دوري. ولذلك تمثل الدورة بمنحنى مغلق في مخطط كلابيرون.

لما كانت $U$ دالة حالة، فإن $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. فيفرض المبدأ الأول إذن $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$. ومن جهة أخرى،

ويأخذ التفسير الهندسي السابق عندئذ صورة بسيطة جدا: القيمة المطلقة للشغل تساوي المساحة المحصورة داخل الدورة. ولرؤية ذلك، نعتبر دورة تتكون من فرع علوي $P_+(V)$ يجتاز من $V_1$ إلى $V_2$، مع $V_1<V_2$، ثم من فرع سفلي $P_-(V)$ يجتاز في الاتجاه المعاكس، كما في الشكل 4. فنحصل على

$$\oint P\,dV = \int_{V_1}^{V_2}P_+(V)\,dV + \int_{V_2}^{V_1}P_-(V)\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[P_+(V)-P_-(V)\bigr]\,dV.$$

وهي المساحة تحت الفرع العلوي ناقص المساحة تحت الفرع السفلي، أي المساحة المحصورة داخل الدورة. وبالنسبة إلى الاجتياز في اتجاه عقارب الساعة المدروس هنا، يكون هذا التكامل موجبا فيكون الشغل المتلقى سالبا.

يفرض المبدأ الأول لدورة قدرة $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}>0$: فعلى امتداد الدورة كلها يتلقى الغاز كمية صافية من الحرارة تساوي الشغل الذي يقدمه إلى محيطه.