تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

دورة تبريد مستطيلة؟

تمرين 23 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

دورة ديناميكية حرارية
دورة مستطيلة
مخطط كلابيرون
الشغل
الحرارة
المساحة
غاز مثالي
دورة تبريد
آلة تبريد

نص المسألة

نعتبر $n$ مولات من غاز مثالي أحادي الذرة، مع $U = \frac{3}{2} n R T$ ، تجتاز دورة مستطيلة شبه ساكنة بعكس اتجاه عقارب الساعة

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

حيث $V_{2} > V_{1}$ و $P_{2} > P_{1}$ . سنرمز بـ

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

مثّل الدورة في مخطط كلابيرون $(P, V)$ وحدد طبيعة كل فرع.
احسب الشغل المستقبَل على كل فرع من الفروع الأربعة بدلالة $Δ V$ عندما تتغير، ثم الشغل الكلي بدلالة $Δ P$ و $Δ V$ . واستخرج قيمته من مساحة المستطيل.
عبّر عن $Δ U$ و $Q$ على كل فرع بدلالة $P_{1}$ و $P_{2}$ و $V_{1}$ و $V_{2}$ و $Δ P$ و $Δ V$ ، باستخدام $Δ P$ على الفروع المتساوية الحجم و $Δ V$ على الفروع المتساوية الضغط.
تحقق من أن $Δ U_{cycle} = 0$ و $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . هل الدورة دورة قدرة أم دورة مستقبِلة للشغل؟ على أي فروع يستقبل الغاز حرارة، وعلى أيها يطرحها؟ بيّن أن الحرارة الكلية التي يطرحها الغاز، $Q_{out} > 0$ ، تساوي الحرارة الكلية التي يستقبلها، $Q_{in} > 0$ ، مضافًا إليها الشغل المستقبَل $W_{cycle}$ .
عبّر عن درجات الحرارة $T_{A}$ و $T_{B}$ و $T_{C}$ و $T_{D}$ عند الرؤوس الأربعة. أيها الأدنى وأيها الأعلى؟ كيف تتغير درجة حرارة الغاز على طول كل فرع؟ بين أي درجات حرارة يستقبل الغاز الحرارة، وبين أيها يطرحها؟
نريد استعمال هذه الدورة ثلاجةً، أي سحب الحرارة من حيّز بارد وطرحها إلى هواء الغرفة الأدفأ. لكي يستقبل جسم حرارة، يجب أن يكون المصدر الملامس له أسخن منه. ما درجات الحرارة التي يجب أن تكون للمصادر التي تمد الغاز بالحرارة، وللمصادر التي تستقبل الحرارة منه؟ هل يمكن لهذه الدورة أن تعمل ثلاجةً؟
تطبيق عددي: $P_{1} = 1, 0$ bar و $P_{2} = 3, 0$ bar و $V_{1} = 5, 0$ L و $V_{2} = 15, 0$ L. احسب $W$ و $Q$ على كل فرع، ثم $W_{cycle}$ و $Q_{in}$ و $Q_{out}$ . احسب أخيرًا النسب $T_{B} / T_{A}$ و $T_{C} / T_{A}$ و $T_{D} / T_{A}$ ، واستنتج.

تلميح

في تحول متساوي الحجم،

n R Δ T = V Δ P

والشغل معدوم. وفي تحول متساوي الضغط،

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. تستعيد كل دالة حالة قيمتها الابتدائية في نهاية الدورة.

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. تقع النقاط

A

B

C

D

على الترتيب في أسفل اليسار، وأسفل اليمين، وأعلى اليمين، وأعلى اليسار. الفرعان

A \to B

C \to D

متساويا الضغط؛ والفرعان

B \to C

D \to A

متساويا الحجم. يُجتاز المسار

A \to B \to C \to D \to A

بعكس اتجاه عقارب الساعة.

الشكل 1. الدورة المستطيلة المؤلفة من فروع متساوية الضغط ومتساوية الحجم في مخطط كلابيرون.

السؤال 2. الشغل الذي يستقبله الغاز هو

W = - \int P_{ext} d V .

وهو معدوم على الفرعين المتساويي الحجم $B \to C$ و $D \to A$ . أما على الفرعين المتساويي الضغط،

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

ومن ثم،

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

هذه القيمة هي بالفعل مساحة المستطيل في مخطط كلابيرون.

السؤال 3. بالنسبة إلى الغاز المثالي أحادي الذرة،

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

في تحول متساوي الضغط، تعطي معادلة الحالة $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . وبناء عليه،

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

وفي تحول متساوي الحجم، تعطي $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ ، ومنه

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

وأخيراً، يؤدي المبدأ الأول $Δ U = Q + W$ ، أي $Q = Δ U - W$ ، إلى الجدول الملخص الآتي:

الفرع A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

السؤال 4. مجموع تغيرات الطاقة الداخلية معدوم، كما هو الحال لكل دالة حالة على دورة. لذلك يفرض القانون الأول

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

يستقبل الغاز شغلًا في المحصلة: الدورة مستقبِلة للشغل. وبحسب الجدول، يستقبل الغاز حرارة على $A \to B$ و $B \to C$ ، ويطرحها على $C \to D$ و $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

وبالطرح، مع $P_{2} - P_{1} = Δ P$ و $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ، نجد

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

ومنه

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

على دورة كاملة، يطرح الغاز على شكل حرارة كل الطاقة التي استقبلها، حرارةً وشغلًا.

السؤال 5. تعطي معادلة الحالة

T = P V / (n R)

عند كل رأس:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

بما أن $P_{1} < P_{2}$ و $V_{1} < V_{2}$ ، فإن الجداء $P V$ أصغر ما يكون عند $A$ وأكبر ما يكون عند $C$ : $T_{A}$ هي أدنى درجة حرارة في الدورة، و $T_{C}$ أعلاها، أما $T_{B}$ و $T_{D}$ فوسيطتان.

على متساوي الضغط

A \to B

يزداد

V

عند ضغط ثابت، فترتفع

T

من

T_{A}

إلى

T_{B}

. وعلى متساوي الحجم

B \to C

يزداد

P

عند حجم ثابت، فترتفع

T

من

T_{B}

إلى

T_{C}

. وبالمثل، تنخفض

T

من

T_{C}

إلى

T_{D}

على

C \to D

، ثم من

T_{D}

إلى

T_{A}

على

D \to A

. إذن يستقبل الغاز حرارة بينما ترتفع درجة حرارته من القيمة الدنيا

T_{A}

إلى القيمة العليا

T_{C}

، ويطرح حرارة بينما تعود فتنخفض من

T_{C}

إلى

T_{A}

. السؤال 6. لكي يستقبل الغاز حرارة، يجب أن يلامس مصادر لا تقل سخونة عنه؛ وفي النهاية شبه الساكنة تتبع درجة حرارتها درجة حرارة الغاز. لذلك تمتد درجات حرارة المصادر التي تمد الغاز بالحرارة من

T_{A}

حتى

T_{C}

، أعلى درجة حرارة في الدورة. وبالعكس، تمتد درجات حرارة المصادر التي تستقبل حرارته من

T_{C}

حتى

T_{A}

، أدنى درجة حرارة في الدورة. إذن لا يوجد جانب بارد وجانب ساخن منفصلان: يأخذ الغاز حرارة من مصادر شديدة السخونة ويعطي حرارة لمصادر شديدة البرودة. لا يمكن لهذه الدورة أن تكون ثلاجة، لأن الثلاجة يجب أن تسحب الحرارة عند أدنى درجات الحرارة وتطرحها عند أعلاها. فهي تستقبل شغلًا وتعيده كله على شكل حرارة (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

)، مع إعادة توزيع الحرارة بين مصادر ذات درجات حرارة مختلفة. أما الثلاجة فيجب، على العكس، أن تمتص الحرارة على أبرد أجزاء دورتها وتطرحها على أسخنها. وهذا ما يحدث في دورة كارنو المقطوعة في الاتجاه المعاكس، التي ندرسها في الدرس 6: يستقبل الغاز فيها حرارة على طول متساوي الحرارة البارد ويطرحها على طول متساوي الحرارة الساخن. لذا لا يكفي أن تكون الدورة مستقبِلة للشغل لكي تكون دورة تبريد. السؤال 7. هنا

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa و

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

الفرع A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

وهكذا $W_{cycle} = + 2000 J$ و $Q_{cycle} = - 2000 J$ و $Δ U_{cycle} = 0$ . الحرارة المستقبَلة هي $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ ، والحرارة المطروحة $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . لا تتعلق نسب درجات الحرارة بـ $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

لو كانت أدنى درجة حرارة في الدورة هي درجة حرارة حيّز بارد، مثلًا $T_{A} = 270 K$ ، لوجب على الغاز أن يستقبل حرارة من مصادر تصل درجة حرارتها إلى $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . ومن الواضح أن دورة كهذه لا تبرّد الحيّز.