دورة تبريد مستطيلة

السؤال 1. تقع النقاط $A$ و$B$ و$C$ و$D$ على الترتيب في أسفل اليسار، وأسفل اليمين، وأعلى اليمين، وأعلى اليسار. الفرعان $A\to B$ و$C\to D$ متساويا الضغط؛ والفرعان $B\to C$ و$D\to A$ متساويا الحجم. يُجتاز المسار $A\to B\to C\to D\to A$ بعكس اتجاه عقارب الساعة.

السؤال 2. الشغل الذي يستقبله الغاز هو

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

وهو معدوم على الفرعين المتساويي الحجم $B\to C$ و$D\to A$. أما على الفرعين المتساويي الضغط،

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

ومن ثم،

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

هذه القيمة هي بالفعل مساحة المستطيل في مخطط كلابيرون.

السؤال 3. بالنسبة إلى الغاز المثالي أحادي الذرة،

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

في تحول متساوي الضغط، تعطي معادلة الحالة $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$. وبناء عليه،

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

وفي تحول متساوي الحجم، تعطي $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$، ومنه

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

وأخيراً، يؤدي المبدأ الأول $\Delta U=Q+W$، أي $Q=\Delta U-W$، إلى الجدول الملخص الآتي:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{الفرع} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

السؤال 4. مجموع تغيرات الطاقة الداخلية معدوم. ولذلك يفرض المبدأ الأول

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

يستقبل الغاز شغلاً إجمالاً: فالدورة دورة تبريد. يستقبل حرارة على $A\to B$ و$B\to C$. على هذين الفرعين، يسحب الغاز حرارة من الخزانات الحرارية الباردة التي يوضع على تماس معها: فهذه الخزانات الخارجية (مثل حجرة الثلاجة والأطعمة داخلها)، لا الغاز الدوري نفسه، هي ما يُبرَّد.

أما على $C\to D$ و$D\to A$، فيطرح الغاز حرارة إلى الخزانات الحرارية الساخنة، مثل هواء الغرفة. وإذا رمزنا بـ $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ إلى الحرارة الكلية التي تستقبلها هذه الخزانات،

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

وهكذا تنقل الدورة الحرارة من الخزانات الحرارية الباردة إلى الخزانات الحرارية الساخنة بفضل الشغل الذي تستقبله.

السؤال 5. الحرارة التي يسحبها الغاز هي

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

نستنتج

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

السؤال 6. يقيس معامل الأداء مكسب التبريد المحقق نسبة إلى الشغل المبذول: فمعامل أداء يساوي $k$ يعني أن كل جول من الشغل المقدم يتيح سحب $k$ جول من الحرارة من الخزانات الحرارية الباردة.

بخلاف كفاءة المحرك الحراري، ليس معامل الأداء جزءاً من طاقة مستقبلة يجري تحويله إلى شغل. يستقبل الغاز كلاً من الشغل $W_{\mathrm{in}}$ والحرارة $Q_f$ المسحوبة من الخزانات الحرارية الباردة، ثم يطرح مجموعهما إلى الخزانات الحرارية الساخنة:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

لذلك لا يوجد ما يوجب أن تكون $Q_f$ أصغر من $W_{\mathrm{in}}$، ويمكن لمعامل الأداء أن يكون أكبر من 1 من دون أن يناقض حفظ الطاقة.

السؤال 7. هنا $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa و$\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{الفرع} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

وعليه $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J و$Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J و$\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. الحرارة المسحوبة هي

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

أما الحرارة المطروحة إلى الخزانات الحرارية الساخنة فهي

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

ومن ثم يكون معامل الأداء التبريدي

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$