تمرين دراسي: قوانين لابلاس

نعتبر $n$ مولات من غاز مثالي ذي معامل أديباتي $\gamma =c_P/c_V$ يُفترض ثباته. يُفترض أن النظام مغلق. ونقبل علاقة ماير $c_P-c_V=R$ (انظر تمرين اكتشاف $c_P$).

1. بيّن أن $$c_V=\frac{R}{\gamma -1},c_P=\frac{\gamma R}{\gamma -1}.$$
2. يخضع الغاز لتحول أديباتي شبه ساكن نفترض فيه $P_{\text{ext}}=P$. انطلاقاً من المبدأ الأول بصيغته التفاضلية، بيّن أن $$\frac{\mathrm{d}T}{T}+(\gamma -1)\frac{\mathrm{d}V}{V}=0,$$ ثم استنتج أن $T{V}^{\gamma -1}=\text{ثابت}$ على طول التحول.
3. استنتج الصيغتين الأخريين لقانون لابلاس: $P{V}^{\gamma }=\text{ثابت}$ و$T^{\gamma }{P}^{1-\gamma }=\text{ثابت}$.
4. لنعتبر تمدداً من هذا النوع يضاعف حجم غاز أحادي الذرة ($\gamma =5/3$)، مع $n=1$ mol ودرجة حرارة ابتدائية $T_i=300$ K. احسب $T_f$، ثم $\Delta T$ و$W$، وعلّق على إشارتي $\Delta T$ و$W$.
5. في مخطط كلابيرون $(P,V)$، قارن عند نقطة واحدة ميل منحنى أديباتي من هذا النوع بميل منحنى متساوي الحرارة.