تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

الشغل والحرارة بين حالتين عبر مسارين

تمرين 19 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

شغل قوى الضغط
الحرارة
متساوي الحرارة
متساوي الحجم
مخطط كلابيرون
تفاضل تام
غاز مثالي

نص المسألة

نعتبر $n$ مولات من غاز مثالي أحادي الذرة، طاقته الداخلية $U = \frac{3}{2} n R T$ . نصل الحالة $A (T_{1}, V_{1})$ بالحالة $B (T_{2}, V_{2})$ عبر مسارين شبه ساكنين، مع $P_{ext} = P$ في كل لحظة:

$Γ_{1}$ : تمدد متساوي الحرارة عند $T_{1}$ ، من $V_{1}$ إلى $V_{2}$ ، ثم تحول متساوي الحجم عند $V_{2}$ ، من $T_{1}$ إلى $T_{2}$ ؛
$Γ_{2}$ : تحول متساوي الحجم عند $V_{1}$ ، من $T_{1}$ إلى $T_{2}$ ، ثم تمدد متساوي الحرارة عند $T_{2}$ ، من $V_{1}$ إلى $V_{2}$ .

في الحالة $T_{2} > T_{1}$ و $V_{2} > V_{1}$ ، مثّل المسارين $Γ_{1}$ و $Γ_{2}$ في مخطط كلابيرون $(P, V)$ . وبيّن الحالات الوسيطة واتجاه السير.
احسب الشغلين المستقبَلين $W_{1}$ و $W_{2}$ على طول كل من المسارين. ما قيمة الفرق $W_{1} - W_{2}$ ؟
من دون إعادة حساب التكاملين كل على حدة، استخرج هندسياً $W_{1} - W_{2}$ انطلاقاً من المساحة المحصورة بين المسارين في مخطط كلابيرون.
احسب $Δ U$ على طول كل من المسارين، ثم استنتج $Q_{1}$ و $Q_{2}$ . واستخلص طبيعة $δ Q$ .
تطبيق عددي: $n = 1$ mol و $T_{1} = 300$ K و $T_{2} = 600$ K و $V_{2} = 2 V_{1}$ .

تلميح

في مخطط كلابيرون، يكون التحول المتساوي الحجم رأسياً، ويحقق التحول المتساوي الحرارة لغاز مثالي

P = n R T / V

. يقع منحنى متساوي الحرارة ذي درجة الحرارة

T_{2}

فوق منحنى درجة الحرارة

T_{1}

. ولا يسهم التحول المتساوي الحجم في شغل قوى الضغط. بالنسبة إلى السؤال 3، الشغل المستقبَل هو سالب المساحة الجبرية الواقعة تحت المسار في المخطط

(P, V)

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. لنرمز بـ

C

إلى الحالة الوسيطة للمسار

Γ_{1}

وبـ

D

إلى الحالة الوسيطة للمسار

Γ_{2}

. ضغوطها وحجومها هي

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

بما أن $T_{2} > T_{1}$ ، يقع منحنى متساوي الحرارة $T_{2}$ فوق منحنى متساوي الحرارة $T_{1}$ . يُرسم المسار $Γ_{1}$ من $A$ نحو $C$ ، باتجاه اليمين على طول منحنى متساوي الحرارة السفلي $T_{1}$ ، ثم رأسياً من $C$ نحو $B$ على طول خط الحجم الثابت $V_{2}$ . أما المسار $Γ_{2}$ ، فيصعد أولاً رأسياً من $A$ نحو $D$ على طول خط الحجم الثابت $V_{1}$ ، ثم يتجه يميناً من $D$ نحو $B$ على طول منحنى متساوي الحرارة العلوي $T_{2}$ . ومن ثم يكون اتجاه المسارين

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

المساران _1 و _2 في مخطط كلابيرون. تمثل المنحنيات الرمادية امتداد منحنيي تساوي الحرارة T_1 وT_2. — الشكل 1. المساران $Γ_{1}$ و $Γ_{2}$ في مخطط كلابيرون. تمثل المنحنيات الرمادية امتداد منحنيي تساوي الحرارة $T_{1}$ و $T_{2}$ .

السؤال 2. وفق اصطلاح الشغل الذي يستقبله الغاز، $δ W = - P d V$ . لا يسهم التحول المتساوي الحجم في الشغل، وعلى منحنى متساوي الحرارة عند درجة الحرارة $T$ ،

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

ومن ثم نحصل على

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

ثم

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

الحالتان الابتدائية والنهائية متطابقتان، لكن الشغلين مختلفان: $δ W$ ليس تفاضلاً تاماً.

السؤال 3. لا تمسح التحولات المتساوية الحجم أي مساحة. وبما أن الشغل المستقبَل هو سالب المساحة تحت المنحنى، فإن الفرق

W_{1} - W_{2}

يساوي المساحة المحصورة بين منحنيي تساوي الحرارة

T_{2}

T_{1}

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

وهكذا نستعيد نتيجة السؤال 2.

السؤال 4. لا تعتمد الطاقة الداخلية للغاز المثالي أحادي الذرة إلا على درجة الحرارة. لذلك يكون تغيرها نفسه على المسارين:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

يعطي المبدأ الأول، $Δ U = W + Q$ ، العلاقة $Q = Δ U - W$ ، ومنه

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

وعليه،

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

تعتمد الحرارة المتبادلة هي أيضاً على المسار: $δ Q$ ليس تفاضلاً تاماً، خلافاً لـ $d U$ .

السؤال 5. مع

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

يقدم الغاز خلال $Γ_{2}$ ضعف الشغل، ويستقبل الحرارة الإضافية الموافقة.