تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

الشغل والحرارة بين حالتين عبر مسارين

تمرين 11 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

  • شغل قوى الضغط
  • الحرارة
  • متساوي الحرارة
  • متساوي الحجم
  • مخطط كلابيرون
  • تفاضل تام
  • غاز مثالي

نص المسألة

نعتبر nn مولات من غاز مثالي أحادي الذرة، طاقته الداخلية U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT. نصل الحالة A(T1,V1)A(T_1,V_1) بالحالة B(T2,V2)B(T_2,V_2) عبر مسارين شبه ساكنين، مع Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P في كل لحظة:

  • Γ1\Gamma_1: تمدد متساوي الحرارة عند T1T_1، من V1V_1 إلى V2V_2، ثم تحول متساوي الحجم عند V2V_2، من T1T_1 إلى T2T_2؛
  • Γ2\Gamma_2: تحول متساوي الحجم عند V1V_1، من T1T_1 إلى T2T_2، ثم تمدد متساوي الحرارة عند T2T_2، من V1V_1 إلى V2V_2.

  1. في الحالة T2>T1T_2>T_1 وV2>V1V_2>V_1، مثّل المسارين Γ1\Gamma_1 وΓ2\Gamma_2 في مخطط كلابيرون (P,V)(P,V). وبيّن الحالات الوسيطة واتجاه السير.
  2. احسب الشغلين المستقبَلين W1W_1 وW2W_2 على طول كل من المسارين. ما قيمة الفرق W1−W2W_1-W_2؟
  3. من دون إعادة حساب التكاملين كل على حدة، استخرج هندسياً W1−W2W_1-W_2 انطلاقاً من المساحة المحصورة بين المسارين في مخطط كلابيرون.
  4. احسب ΔU\Delta U على طول كل من المسارين، ثم استنتج Q1Q_1 وQ2Q_2. واستخلص طبيعة δQ\delta Q.
  5. تطبيق عددي: n=1n=1 mol وT1=300T_1=300 K وT2=600T_2=600 K و V2=2V1V_2=2V_1.

تلميح
في مخطط كلابيرون، يكون التحول المتساوي الحجم رأسياً، ويحقق التحول المتساوي الحرارة لغاز مثالي P=nRT/VP=nRT/V. يقع منحنى متساوي الحرارة ذي درجة الحرارة T2T_2 فوق منحنى درجة الحرارة T1T_1. ولا يسهم التحول المتساوي الحجم في شغل قوى الضغط. بالنسبة إلى السؤال 3، الشغل المستقبَل هو سالب المساحة الجبرية الواقعة تحت المسار في المخطط (P,V)(P,V).

الحل المفصل

الحل
السؤال 1. لنرمز بـ CC إلى الحالة الوسيطة للمسار Γ1\Gamma_1 وبـ DD إلى الحالة الوسيطة للمسار Γ2\Gamma_2. ضغوطها وحجومها هي

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

بما أن T2>T1T_2>T_1، يقع منحنى متساوي الحرارة T2T_2 فوق منحنى متساوي الحرارة T1T_1. يُرسم المسار Γ1\Gamma_1 من AA نحو CC، باتجاه اليمين على طول منحنى متساوي الحرارة السفلي T1T_1، ثم رأسياً من CC نحو BB على طول خط الحجم الثابت V2V_2. أما المسار Γ2\Gamma_2، فيصعد أولاً رأسياً من AA نحو DD على طول خط الحجم الثابت V1V_1، ثم يتجه يميناً من DD نحو BB على طول منحنى متساوي الحرارة العلوي T2T_2. ومن ثم يكون اتجاه المسارين

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
المساران _1 و _2 في مخطط كلابيرون. تمثل المنحنيات الرمادية امتداد منحنيي تساوي الحرارة T_1 وT_2.
الشكل 1. المساران Γ1\Gamma_1 وΓ2\Gamma_2 في مخطط كلابيرون. تمثل المنحنيات الرمادية امتداد منحنيي تساوي الحرارة T1T_1 وT2T_2.

السؤال 2. وفق اصطلاح الشغل الذي يستقبله الغاز، δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V. لا يسهم التحول المتساوي الحجم في الشغل، وعلى منحنى متساوي الحرارة عند درجة الحرارة TT،

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

ومن ثم نحصل على

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

ثم

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

الحالتان الابتدائية والنهائية متطابقتان، لكن الشغلين مختلفان: δW\delta W ليس تفاضلاً تاماً.

السؤال 3. لا تمسح التحولات المتساوية الحجم أي مساحة. وبما أن الشغل المستقبَل هو سالب المساحة تحت المنحنى، فإن الفرق W1−W2W_1-W_2 يساوي المساحة المحصورة بين منحنيي تساوي الحرارة T2T_2 وT1T_1:

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

وهكذا نستعيد نتيجة السؤال 2.

السؤال 4. لا تعتمد الطاقة الداخلية للغاز المثالي أحادي الذرة إلا على درجة الحرارة. لذلك يكون تغيرها نفسه على المسارين:

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

يعطي المبدأ الأول، ΔU=W+Q\Delta U=W+Q، العلاقة Q=ΔU−WQ=\Delta U-W، ومنه

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

وعليه،

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

تعتمد الحرارة المتبادلة هي أيضاً على المسار: δQ\delta Q ليس تفاضلاً تاماً، خلافاً لـ dU\mathrm{d}U.

السؤال 5. مع ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693،

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

يقدم الغاز خلال Γ2\Gamma_2 ضعف الشغل، ويستقبل الحرارة الإضافية الموافقة.