تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

تمرين دراسي: التحولات الأساسية

تمرين 9 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

تمرين دراسي
غاز مثالي أحادي الذرة
تحول متساوي الحجم
تحول متساوي الحرارة
تحول متساوي الضغط
الطاقة الداخلية
الشغل
الحرارة
المبدأ الأول

نص المسألة

نعتبر $n$ مولات من غاز مثالي أحادي الذرة، يكون في البداية في الحالة $A(P_A,V_A,T_i)$ . ندرس بصورة منفصلة ثلاثة تحولات شبه ساكنة تنطلق كلها من $A$ ، مع $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : تسخين متساوي الحجم من $T_i$ إلى $T_f$ ؛
$A\to C$ : انضغاط متساوي الحرارة عند $T_i$ ، من $V_A$ إلى $V_A/2$ ؛
$A\to D$ : تسخين متساوي الضغط من $T_i$ إلى $T_f$ .

نعتمد اصطلاح الإشارة المصرفي: تكون الانتقالات التي يستقبلها الغاز موجبة.

مثّل التحولات الثلاثة في مخطط كلابيرون واحد $(P,V)$ وحدد حالات $B$ و $C$ و $D$ تحليلياً.
احسب تحليلياً $W$ و $\Delta U$ و $Q$ لكل من التحولات الثلاثة.
علّق على إشارات انتقالات الطاقة.
تطبيق عددي: $n=1\ \mathrm{mol}$ و $T_i=300\ \mathrm{K}$ و $T_f=500\ \mathrm{K}$ و $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

تلميح

بالنسبة إلى غاز مثالي أحادي الذرة،

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. استخدم

W=-\int P\,\mathrm{d}V

والمبدأ الأول

\Delta U=Q+W

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. تعطي معادلة الغاز المثالي

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{الحالة} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

في المخطط $(P,V)$ ، يمثل $A\to B$ خطاً رأسياً، ويتبع $A\to C$ متساوي الحرارة $T_i$ نحو اليسار، ويمثل $A\to D$ خطاً أفقياً نحو اليمين.

السؤال 2.

التسخين المتساوي الحجم $A\to B$ . بما أن $\mathrm{d}V=0$ ،

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

الانضغاط المتساوي الحرارة $A\to C$ . درجة الحرارة ثابتة، ومن ثم $\Delta U_{AC}=0$ . إضافة إلى ذلك،

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

التسخين المتساوي الضغط $A\to D$ . عند ضغط ثابت، $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ ، ومن ثم

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

السؤال 3. في التحول المتساوي الحجم، تزيد الحرارة المستقبلة كلها الطاقة الداخلية. أثناء الانضغاط المتساوي الحرارة، يستقبل الغاز شغلاً ويطرح مقدار الطاقة نفسه تماماً على شكل حرارة. أما في التحول المتساوي الضغط، فيستقبل الغاز حرارة، وتزداد طاقته الداخلية، ويقدم شغلاً عند تمدده.

السؤال 4. مع $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{التحول} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{متساوي الحجم }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{متساوي الحرارة }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{متساوي الضغط }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}