تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

دورة مثلثية

تمرين 20 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

دورة قدرة
مخطط كلابيرون
مساحة الدورة
المبدأ الأول
الكفاءة

نص المسألة

نعتبر $n$ مولات من غاز مثالي سعته الحرارية المولية $c_{V}$ ثابتة، ينجز الدورة شبه الساكنة $A \to B \to C \to A$ ، حيث

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

الفرع $A \to B$ متساوي الحجم، والفرع $B \to C$ قطعة مستقيمة في المستوى $(P, V)$ ، والفرع $C \to A$ متساوي الضغط.

تُعرَّف كفاءة دورة القدرة بالعلاقة

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

حيث $Q_{in}$ مجموع انتقالات الحرارة التفاضلية $δ Q > 0$ التي يستقبلها الغاز أثناء الدورة.

مثّل الدورة في مخطط كلابيرون وحدد اتجاه السير. هل هي دورة قدرة أم دورة تبريد؟
حدد معادلة المستقيم $P (V)$ الواصل بين $B$ و $C$ .
بوضع $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ ، حدد درجات الحرارة $T_{A}$ و $T_{B}$ و $T_{C}$ . لماذا يكون $Δ U_{B \to C}$ معدوماً مع أن هذا الفرع ليس متساوي الحرارة؟
احسب الشغل المستقبَل على كل فرع من الفروع الثلاثة، ثم على الدورة الكاملة. واستخرج القيمة المطلقة للشغل الكلي انطلاقاً من مساحة المثلث.
احسب $Δ U$ و $Q$ على كل فرع بدلالة $P_{0}$ و $V_{0}$ و $c_{V}$ فقط، ثم تحقق من أن $Δ U_{cycle} = 0$ و $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ .
بوضع $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ و $x = V / V_{0}$ ، بيّن أن إشارة $δ Q$ تتغير عند نقطة من الفرع $B \to C$ . واستنتج $Q_{in}$ ، ثم كفاءة هذه الدورة $η$ . أعط قيمتها لغاز مثالي أحادي الذرة، حيث $c_{V} = \frac{3}{2} R$ .

تلميح

على

B \to C

، ابحث عن

P (V) = aV + b

بفرض مرور المستقيم بالنقطتين

B

C

. لحساب تغير الطاقة الداخلية، لا تلزم سوى درجتي الحرارة عند طرفي الفرع. بالنسبة إلى السؤال 6، استخدم المبدأ الأول بصيغته التفاضلية.

الحل المفصل

الحل

السؤالان 1–2. تُجتاز الدورة في اتجاه عقارب الساعة: فهي دورة قدرة. معادلة المستقيم

B \to C

هي

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

الدورة المثلثية A B C A في مخطط كلابيرون. — الشكل 1. الدورة المثلثية $A \to B \to C \to A$ في مخطط كلابيرون.

السؤال 3. تعطي معادلة الحالة

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

تتغير درجة الحرارة على طول $B \to C$ ، لكنها تستعيد القيمة نفسها عند طرفيه. وبما أن الطاقة الداخلية لغاز مثالي لا تعتمد إلا على درجة الحرارة عند ثبات كمية المادة، فإن $Δ U_{B \to C} = 0$ .

السؤال 4. قيم الشغل المستقبَل هي

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

ومن ثم،

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

إشارته سالبة: يقدم الغاز شغلاً أثناء الدورة. قيمته المطلقة هي بالفعل مساحة المثلث، الذي قاعدته $V_{0}$ وارتفاعه $P_{0}$ ، وفق الصيغة $A = \frac{1}{2} القاعدة \times الارتفاع$ لمثلث قائم الزاوية.

السؤال 5. بما أن

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

الفرع A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

بجمع الفروع الثلاثة، نحصل على

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

السؤال 6. لنضع $a = c_{V} / R$ و $x = V / V_{0}$ . على الفرع $B \to C$ ، لدينا $P = P_{0} (3 - x)$ و $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ . يعطي المبدأ الأول

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

ينعدم هذا الانتقال الحراري التفاضلي عندما

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

عندما $a > 1$ ، يكون $1 < x_{⋆} < 2$ : يستقبل الغاز حرارة من $B$ حتى النقطة ذات الإحداثي $x_{⋆}$ ، ثم يطرح حرارة حتى $C$ . ويستقبل أيضاً الحرارة $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ على $A \to B$ . وبناء عليه،

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

ومن ثم تكون الكفاءة

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

بالنسبة إلى غاز مثالي أحادي الذرة، $a = \frac{3}{2}$ ، ومنه

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.