تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

التسخين عند ضغط ثابت: اكتشاف cPc_P

تمرين 13 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

  • السعة الحرارية
  • ضغط ثابت
  • علاقة ماير
  • تسخين متساوي الضغط
  • غاز مثالي

نص المسألة

يُحبس مول واحد من غاز مثالي، سعته الحرارية المولية cVc_V، في أسطوانة حجمها الابتدائي V0V_0. تُغلق الأسطوانة بمكبس متحرك عديم الاحتكاك وأديباتي، يخضع لضغط خارجي ثابت P0P_0. تزوّد مقاومة كهربائية داخلية الغاز بحرارة Q>0Q>0 بطريقة شبه ساكنة.

  1. ارسم مخططاً بسيطاً للجهاز. وبيّن الغاز والمكبس والمقاومة والضغط الخارجي P0P_0 وتبادلات الطاقة.
  2. من دون استخدام قيم عددية، عبّر عن درجة الحرارة الابتدائية T0T_0، ثم حدد الحالة النهائية (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f) والشغل WW الذي يستقبله الغاز وتغير طاقته الداخلية ΔU\Delta U.
  3. استنتج السعة الحرارية المولية عند ضغط ثابت cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P بدلالة cVc_V وRR.
  4. تطبيق عددي لغاز مثالي أحادي الذرة: cV=32Rc_V=\frac32R وV0=25 LV_0=25\ \mathrm{L} و P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa} وQ=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} و R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

تلميح
التحول متساوي الضغط: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. بالنسبة إلى مول واحد من غاز مثالي، P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. عوّض بهذه العلاقات في المبدأ الأول.

الحل المفصل

الحل
السؤال 1. يجب أن يوضح المخطط الغاز داخل أسطوانة مغلقة بمكبس متحرك. يمثل سهم داخل الأسطوانة الحرارة QQ التي تزودها المقاومة. يؤثر الضغط الخارجي P0P_0 في المكبس، الذي يتحرك إلى أعلى عندما يتمدد الغاز.

السؤال 2. تعطي معادلة الحالة الابتدائية

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

يبقى الضغط ثابتاً، ومن ثم Pf=P0P_f=P_0. إضافة إلى ذلك، W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. وعليه يعطي المبدأ الأول

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

ومنه

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

إذن الحالة النهائية هي

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

وأخيراً،

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

السؤال 3. بما أن Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T عند ضغط ثابت،

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

هذه هي علاقة ماير.

السؤال 4. بالنسبة إلى غاز أحادي الذرة،

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

نحصل على

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

وأخيراً،

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.