تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

التسخين عند ضغط ثابت: اكتشاف $c_{P}$

تمرين 21 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

السعة الحرارية
ضغط ثابت
علاقة ماير
تسخين متساوي الضغط
غاز مثالي

نص المسألة

يُحبس مول واحد من غاز مثالي، سعته الحرارية المولية $c_{V}$ ، في أسطوانة حجمها الابتدائي $V_{0}$ . تُغلق الأسطوانة بمكبس متحرك عديم الاحتكاك وأديباتي، يخضع لضغط خارجي ثابت $P_{0}$ . تزوّد مقاومة كهربائية داخلية الغاز بحرارة $Q > 0$ بطريقة شبه ساكنة.

ارسم مخططاً بسيطاً للجهاز. وبيّن الغاز والمكبس والمقاومة والضغط الخارجي $P_{0}$ وتبادلات الطاقة.
من دون استخدام قيم عددية، عبّر عن درجة الحرارة الابتدائية $T_{0}$ ، ثم حدد الحالة النهائية $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ والشغل $W$ الذي يستقبله الغاز وتغير طاقته الداخلية $Δ U$ .
استنتج السعة الحرارية المولية عند ضغط ثابت $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ بدلالة $c_{V}$ و $R$ .
تطبيق عددي لغاز مثالي أحادي الذرة: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ و $V_{0} = 25 L$ و $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ و $Q = 1000 J$ و $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

تلميح

التحول متساوي الضغط:

W = - P_{0} Δ V

. بالنسبة إلى مول واحد من غاز مثالي،

P_{0} Δ V = R Δ T

. عوّض بهذه العلاقات في المبدأ الأول.

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. يجب أن يوضح المخطط الغاز داخل أسطوانة مغلقة بمكبس متحرك. يمثل سهم داخل الأسطوانة الحرارة

Q

التي تزودها المقاومة. يؤثر الضغط الخارجي

P_{0}

في المكبس، الذي يتحرك إلى أعلى عندما يتمدد الغاز. السؤال 2. تعطي معادلة الحالة الابتدائية

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

يبقى الضغط ثابتاً، ومن ثم $P_{f} = P_{0}$ . إضافة إلى ذلك، $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . وعليه يعطي المبدأ الأول

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

ومنه

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

إذن الحالة النهائية هي

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

وأخيراً،

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

السؤال 3. بما أن $Q = (c_{V} + R) Δ T$ عند ضغط ثابت،

c_{P} = c_{V} + R .

هذه هي علاقة ماير.

السؤال 4. بالنسبة إلى غاز أحادي الذرة،

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

نحصل على

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

وأخيراً،

W = - 400 J, Δ U = 600 J .