تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

شغل تحول متعدد الحدود $P V^{k} = ثابت$

تمرين 22 · الدرس 5 — تطبيق على الغاز المثالي

تحول متعدد الحدود
شغل قوى الضغط
قانون لابلاس

نص المسألة

نعتبر تحولاً شبه ساكن لغاز مثالي يحقق $P V^{k} = ثابت$ ، حيث $k \in R$ و $k \neq = 1$ .

احسب $W_{A \to B}$ بدلالة $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ و $k$ .
استعد النتيجة لتحول متساوي الضغط ( $k = 0$ ).
ما قيمته لتحول متساوي الحجم (من دون استخدام الصيغة السابقة)؟
ماذا يحدث عندما $k = 1$ ؟ استعد $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

تلميح

ضع

P (V) = C V^{- k}

مع

C = P_{A} V_{A}^{k}

، ثم كامل، واستخدم

C V^{1 - k} = P V

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. تُكتب علاقة التحول متعدد الحدود على الصورة

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

وفق اصطلاح الإشارة المصرفي، يكون الشغل الذي يستقبله الغاز

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

عندما $k \neq = 1$ ، تكون دالة أصلية لـ $V^{- k}$ هي $V^{1 - k} / (1 - k)$ . ومن ثم،

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

لكن

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

وأخيراً،

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

السؤال 2. عندما $k = 0$ ، تصبح العلاقة $P V^{0} = C$ $P = C$ : فالتحول متساوي الضغط. وبما أن $P_{A} = P_{B} = P$ ،

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

وهكذا نستعيد التعبير المباشر للشغل في تحول متساوي الضغط.

السؤال 3. في تحول متساوي الحجم،

V_{B} = V_{A}

d V = 0

في كل لحظة. وبناء عليه،

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

لا يقابل تحول متساوي الحجم غير تافه أي قيمة منتهية لـ $k$ : فإذا كان $V$ ثابتاً، تفرض العلاقة $P V^{k} = ثابت$ ثبات $P$ أيضاً. ولا يمكن اعتبار التحول متساوي الحجم إلا نهاية صورية عندما $k \to \infty$ .

السؤال 4. عندما

k = 1

، يتناسب تابع التكامل مع

1/ V

: فلا تعود الدالة الأصلية قوة، بل لوغاريتماً. لذلك يجب إعادة التكامل بصورة منفصلة. تصبح علاقة التحول متعدد الحدود

P V = C .

بالنسبة إلى غاز مثالي مغلق، $P V = n R T$ ؛ ولذلك تكون درجة الحرارة ثابتة و $C = n R T$ . وعندئذ يكون الشغل المستقبَل

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

في حالة الانضغاط، $V_{B} / V_{A} < 1$ ، ولذلك يكون اللوغاريتم سالباً و $W_{A \to B} > 0$ ، كما هو متوقع.