شغل تحول متعدد الحدود $PV^k=\text{ثابت}$

السؤال 1. تُكتب علاقة التحول متعدد الحدود على الصورة

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

وفق اصطلاح الإشارة المصرفي، يكون الشغل الذي يستقبله الغاز

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

عندما $k\neq1$، تكون دالة أصلية لـ $V^{-k}$ هي $V^{1-k}/(1-k)$. ومن ثم،

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

لكن

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

وأخيراً،

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

السؤال 2. عندما $k=0$، تصبح العلاقة $PV^0=C$ $P=C$: فالتحول متساوي الضغط. وبما أن $P_A=P_B=P$،

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

وهكذا نستعيد التعبير المباشر للشغل في تحول متساوي الضغط.

السؤال 3. في تحول متساوي الحجم، $V_B=V_A$ و$\mathrm{d}V=0$ في كل لحظة. وبناء عليه،

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

لا يقابل تحول متساوي الحجم غير تافه أي قيمة منتهية لـ $k$: فإذا كان $V$ ثابتاً، تفرض العلاقة $PV^k=\text{ثابت}$ ثبات $P$ أيضاً. ولا يمكن اعتبار التحول متساوي الحجم إلا نهاية صورية عندما $k\to\infty$.

السؤال 4. عندما $k=1$، يتناسب تابع التكامل مع $1/V$: فلا تعود الدالة الأصلية قوة، بل لوغاريتماً. لذلك يجب إعادة التكامل بصورة منفصلة. تصبح علاقة التحول متعدد الحدود

$$PV=C.$$

بالنسبة إلى غاز مثالي مغلق، $PV=nRT$؛ ولذلك تكون درجة الحرارة ثابتة و $C=nRT$. وعندئذ يكون الشغل المستقبَل

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

في حالة الانضغاط، $V_B/V_A<1$، ولذلك يكون اللوغاريتم سالباً و $W_{A\to B}>0$، كما هو متوقع.