Machines thermiques et frigidaires

La thermodynamique est née de la machine à vapeur, et c'est par elle que nous allons terminer son étude. À la leçon 6, nous avons établi les théorèmes de Carnot : le rendement d'un moteur ditherme ne peut pas dépasser $1-T_{\rm fr}/T_{\rm ch}$, et cette borne n'est atteinte que par des machines réversibles. Mais nous avons alors raisonné sur des machines abstraites, échangeant de la chaleur avec deux thermostats idéaux. Comment fonctionne réellement une centrale électrique, un réfrigérateur ou un réacteur d'avion ? Pourquoi leur rendement est-il si loin de la borne de Carnot, et comment les ingénieurs s'en rapprochent-ils ?

Pour répondre, nous aurons besoin de presque tout ce que nous avons appris. Le fluide de travail d'une machine à vapeur change de phase au cours de son cycle, et la leçon 10 nous permettra de suivre ces changements dans le diagramme $(P,v)$. L'enthalpie de la leçon 9 va jouer un rôle central. Il nous manque cependant un outil : le bilan d'énergie d'un système ouvert, traversé par un écoulement de matière, car c'est ainsi que fonctionnent une turbine, une pompe ou un compresseur. Nous l'établirons en chemin.

Nous conserverons la convention du banquier de la leçon 4 : la chaleur et le travail reçus par le fluide sont comptés positivement. Une turbine fournit du travail, et reçoit donc un travail négatif ; une pompe ou un compresseur reçoit un travail positif.

1. Moteurs, réfrigérateurs et pompes à chaleur

1.1. La machine à vapeur

La machine à vapeur la plus connue, celle des anciennes locomotives, ne fonctionnait pas vraiment en cycle : la vapeur qui avait poussé les pistons était simplement rejetée dans l'air, et les trains devaient s'arrêter régulièrement pour refaire le plein d'eau. Mais il est possible de faire circuler l'eau en circuit fermé ; la seule chose à renouveler est alors le combustible, qui sert de source de chaleur. C'est ainsi que fonctionnent aujourd'hui les centrales thermiques, qu'elles brûlent du charbon ou du gaz ou qu'elles utilisent la chaleur dégagée par la fission nucléaire.

Le principe est le suivant. Dans la chaudière, la source de chaleur vaporise de l'eau sous haute pression : l'eau reçoit de la chaleur. La vapeur se détend ensuite dans une turbine, dont elle fait tourner les aubes ; ce mouvement entraîne un alternateur, et l'eau fournit ainsi du travail à l'extérieur. La vapeur à basse pression qui sort de la turbine est alors liquéfiée dans le condenseur, au contact d'une source froide, l'eau d'une rivière ou l'air d'une tour de refroidissement : l'eau cède de la chaleur. Enfin, une pompe ramène l'eau liquide à haute pression dans la chaudière ; il faut pour cela lui fournir un peu de travail. L'eau, qui parcourt indéfiniment ce cycle, est appelée le fluide de travail.

Sur un cycle complet, le fluide revient à son état initial et son énergie interne est inchangée. Le premier principe donne donc

$$Q_{\rm ch}+Q_{\rm fr}+W=0,$$

où $Q_{\rm ch}>0$ est la chaleur reçue dans la chaudière, $Q_{\rm fr}<0$ celle reçue dans le condenseur, et $W<0$ le travail net reçu, qui regroupe le travail fourni par la turbine et celui, plus faible, reçu par la pompe. Le rendement de la leçon 6,

$$\eta=\frac{\lvert W\rvert}{Q_{\rm ch}}=1-\frac{\lvert Q_{\rm fr}\rvert}{Q_{\rm ch}},$$

mesure la fraction de la chaleur fournie par le combustible qui est convertie en travail. Le second principe impose $\eta\leq1-T_{\rm fr}/T_{\rm ch}$ : une partie de la chaleur doit nécessairement être rejetée à la source froide.

1.2. Le réfrigérateur et la pompe à chaleur

Un réfrigérateur fonctionne en sens inverse : il reçoit du travail pour prélever de la chaleur dans l'enceinte froide et la rejeter dans la pièce. Vous pouvez le constater chez vous : la grille métallique située à l'arrière ou sur les côtés du réfrigérateur est chaude. C'est un échangeur de chaleur, le condenseur, par lequel la chaleur extraite des aliments est évacuée dans la cuisine. La même machine, en plus grand, sert aussi à chauffer les maisons : c'est la pompe à chaleur, qui prélève de la chaleur à l'air extérieur, ou au sol, et la cède à l'intérieur du logement.

Pour ces machines, on ne parle pas de rendement mais de coefficient de performance, ou COP, rapport entre le service rendu et le travail dépensé. Le service rendu n'est pas le même dans les deux cas : pour un réfrigérateur, c'est la chaleur $Q_{\rm fr}>0$ prélevée à la source froide ; pour une pompe à chaleur, c'est la chaleur $\lvert Q_{\rm ch}\rvert$ cédée à la source chaude. On définit donc

$$\boxed{\mathrm{COP}_{\rm frigo}=\frac{Q_{\rm fr}}{W}, \qquad \mathrm{COP}_{\rm PAC}=\frac{\lvert Q_{\rm ch}\rvert}{W} =1+\mathrm{COP}_{\rm frigo}}$$

la dernière égalité découlant du premier principe, $\lvert Q_{\rm ch}\rvert=W+Q_{\rm fr}$. Contrairement à un rendement, un COP peut être, et est en général, supérieur à un. Cela ne viole en rien la conservation de l'énergie : une pompe à chaleur ne crée pas de chaleur, elle déplace celle qui existe déjà à l'extérieur, et le travail ne sert qu'à forcer ce transfert du froid vers le chaud.

Comme pour le moteur, le second principe borne ces coefficients. Sur un cycle, l'entropie du fluide revient à sa valeur initiale, et l'inégalité de Clausius de la leçon 6 donne $Q_{\rm ch}/T_{\rm ch}+Q_{\rm fr}/T_{\rm fr}\leq0$. Combinée au premier principe, elle conduit à

$$\boxed{\mathrm{COP}_{\rm frigo}\leq\frac{T_{\rm fr}}{T_{\rm ch}-T_{\rm fr}}, \qquad \mathrm{COP}_{\rm PAC}\leq\frac{T_{\rm ch}}{T_{\rm ch}-T_{\rm fr}}}$$

(exercice : le vérifier), avec égalité pour une machine réversible. Ces bornes montrent que le coût d'un transfert de chaleur croît rapidement avec l'écart de température à franchir. Pour une pompe à chaleur qui chauffe un plancher à $35\ ^{\circ}\mathrm{C}$ en puisant dans l'air extérieur à $0\ ^{\circ}\mathrm{C}$, la borne vaut $308/35\approx8{,}8$ ; les machines réelles atteignent des COP de l'ordre de $3$ à $4$. C'est déjà bien mieux qu'un radiateur électrique, dont le « COP » vaut exactement un.

2. Le bilan d'énergie d'un système ouvert

2.1. Le volume de contrôle

Une turbine, une pompe, une chaudière ou un condenseur sont traversés en permanence par un écoulement de fluide. On ne peut pas leur appliquer directement le premier principe tel que nous l'avons énoncé à la leçon 4, puisque celui-ci concerne des systèmes fermés. Pour les étudier, on délimite dans l'espace un volume de contrôle, par exemple l'intérieur de la turbine. Sa frontière est fixe, mais la matière la franchit : elle entre par une section d'entrée, notée e, et sort par une section de sortie, notée s.

Pour appliquer malgré tout le premier principe, revenons à un système fermé. Considérons, à l'instant $t$, le fluide contenu dans le volume de contrôle, auquel on ajoute la petite masse $\delta m$ qui s'apprête à y entrer pendant la durée $dt$. À l'instant $t+dt$, ce même ensemble de matière est constitué du fluide contenu dans le volume de contrôle et d'une masse $\delta m$ qui vient d'en sortir. Nous nous plaçons en régime stationnaire : l'état du fluide en chaque point du volume de contrôle ne dépend pas du temps, et il entre autant de matière qu'il en sort.

Le contenu du volume de contrôle étant le même aux deux instants, la variation d'énergie du système fermé se réduit à la différence entre l'énergie de la masse sortie et celle de la masse entrée. Chaque kilogramme transporte son énergie interne massique $u$, son énergie cinétique $c^2/2$, où $c$ est la vitesse de l'écoulement, et son énergie potentielle de pesanteur $gz$. Ainsi,

$$dE=\delta m\left[\left(u+\frac{c^2}{2}+gz\right)_{\rm s} -\left(u+\frac{c^2}{2}+gz\right)_{\rm e}\right].$$

Quels travaux le système fermé reçoit-il ? Il y a d'abord le travail $\delta W_{\rm u}$ échangé avec les pièces mobiles de la machine, les aubes de la turbine ou le rotor de la pompe : c'est le travail utile, ou travail « indiqué ». Mais il y a aussi le travail des forces de pression exercées par le fluide environnant. À l'entrée, le fluide situé en amont pousse la masse $\delta m$, de volume $v_{\rm e}\,\delta m$, sous la pression $P_{\rm e}$ : il lui fournit le travail $P_{\rm e}v_{\rm e}\,\delta m$. À la sortie, le système doit au contraire repousser le fluide situé en aval, et reçoit le travail $-P_{\rm s}v_{\rm s}\,\delta m$. Ce travail nécessaire pour faire entrer et sortir la matière est appelé travail de transvasement.

Le premier principe appliqué au système fermé s'écrit alors $dE=\delta Q+\delta W_{\rm u}+(P_{\rm e}v_{\rm e}-P_{\rm s}v_{\rm s})\,\delta m$. En regroupant les termes de transvasement avec l'énergie interne, on voit apparaître l'enthalpie massique $h=u+Pv$ de la leçon 9. En divisant enfin par $dt$ et en notant $\dot m=\delta m/dt$ le débit massique, $\dot Q$ et $\dot W_{\rm u}$ les puissances thermique et mécanique reçues, on obtient

C'est le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire. On comprend maintenant pourquoi l'enthalpie est la grandeur naturelle des écoulements : le terme $Pv$ représente le travail qu'il faut fournir pour pousser chaque kilogramme de fluide à travers la machine.

Dans les machines que nous étudierons, les variations d'énergie cinétique et potentielle sont en général négligeables devant celles de l'enthalpie. En divisant par le débit, on obtient alors la forme très simple que nous utiliserons constamment, pour la chaleur $q$ et le travail utile $w$ reçus par kilogramme de fluide :

2.2. Le bilan d'entropie

Le même raisonnement s'applique à l'entropie. Pour un composant adiabatique, qui n'échange aucune chaleur, le second principe appliqué au système fermé précédent impose que l'entropie de la masse sortie soit au moins égale à celle de la masse entrée :

$$s_{\rm s}\geq s_{\rm e},$$

avec égalité si l'écoulement est réversible. Une turbine ou une pompe idéales, adiabatiques et réversibles, sont donc isentropiques. Les machines réelles produisent de l'entropie, par frottement visqueux ou par turbulence, et leur sortie a une entropie plus grande.

Un cas particulier important est celui d'une vanne, ou d'un simple rétrécissement de la canalisation, dans lequel le fluide se détend sans échanger ni chaleur ni travail. Le bilan (2) donne alors $h_{\rm s}=h_{\rm e}$ : la détente est isenthalpique. Elle est aussi fortement irréversible, puisqu'aucun travail n'est récupéré. C'est la détente de Joule-Thomson, qui joue un rôle essentiel dans les réfrigérateurs.

3. Le cycle de Rankine

3.1. Pourquoi un changement de phase ?

Pourquoi utiliser de l'eau qui se vaporise et se condense, plutôt qu'un gaz qui resterait gazeux ? La raison est liée aux théorèmes de Carnot. Pour s'approcher du rendement maximal, il faut recevoir la chaleur à la température la plus haute possible et la rejeter à la température la plus basse possible, à températures constantes. Or nous avons vu à la leçon 10 qu'un changement de phase sous pression constante se fait justement à température constante. La vaporisation dans la chaudière et la liquéfaction dans le condenseur réalisent donc naturellement les deux isothermes du cycle de Carnot. De plus, les chaleurs latentes sont très grandes : un kilogramme d'eau qui se vaporise absorbe une énergie considérable, ce qui permet des machines compactes.

On pourrait alors imaginer un cycle de Carnot placé entièrement sous la cloche de saturation, avec deux adiabatiques réversibles reliant les deux paliers de changement de phase. Mais la compression adiabatique devrait alors comprimer un mélange de liquide et de vapeur, ce qui est techniquement très difficile. L'ingénieur écossais William Rankine a proposé au milieu du dix-neuvième siècle de déplacer cette compression après la condensation complète : la pompe ne comprime plus qu'un liquide. Or un liquide a un volume massique très faible, si bien que le travail de pompe reste petit.

3.2. Le cycle dans le diagramme $(P,v)$

Rappelons d'abord le vocabulaire de la leçon 10. Dans le diagramme pression — volume massique, la zone de coexistence du liquide et de sa vapeur est limitée par la cloche de saturation. Sa partie gauche, la courbe d'ébullition, est le lieu des liquides saturés, prêts à former leur première bulle ; sa partie droite, la courbe de rosée, est le lieu des vapeurs saturées, prêtes à former leur première goutte. Les deux courbes se rejoignent au point critique. À l'intérieur de la cloche, la règle des moments donne le titre massique en vapeur $x$, qui permet d'exprimer toutes les grandeurs massiques du mélange. En notant avec l'indice $f$ le liquide saturé et avec l'indice $g$ la vapeur saturée, à la même pression,

$$v=(1-x)\,v_f+x\,v_g,\qquad h=(1-x)\,h_f+x\,h_g,\qquad s=(1-x)\,s_f+x\,s_g.$$

Le cycle de Rankine idéal comporte quatre étapes, représentées sur la figure 1 :

1. $1\to2$ : compression adiabatique réversible du liquide par la pompe, de la basse pression $P_{\rm b}$ à la haute pression $P_{\rm h}$ ;
2. $2\to3$ : chauffage du liquide, vaporisation, puis surchauffe de la vapeur à pression constante dans la chaudière ;
3. $3\to4$ : détente adiabatique réversible de la vapeur dans la turbine ;
4. $4\to1$ : liquéfaction complète à pression constante dans le condenseur.

Le cycle est parcouru dans le sens horaire : comme nous l'avons vu à la leçon 5, c'est un cycle moteur, dont l'aire représente le travail net fourni.

3.3. Le calcul du cycle, composant par composant

Appliquons le bilan (2) à chacun des quatre composants, en partant du liquide saturé qui sort du condenseur.

La pompe, $1\to2$.

Elle est adiabatique et réversible, donc isentropique. La relation fondamentale écrite avec l'enthalpie, $dh=T\,ds+v\,dP$, se réduit alors à $dh=v\,dP$. Comme le liquide est presque incompressible, son volume massique reste à peu près égal à $v_1$, et

$$w_{\rm p}=h_2-h_1\simeq v_1(P_{\rm h}-P_{\rm b})>0.$$

Le volume massique d'un liquide étant très petit, ce travail est faible.

La chaudière, $2\to3$.

Elle ne fournit aucun travail, et

$$q_{\rm ch}=h_3-h_2>0.$$

Cette chaleur comprend le chauffage du liquide jusqu'à la température d'ébullition, la chaleur latente de vaporisation, puis la surchauffe de la vapeur.

La turbine, $3\to4$.

Elle est adiabatique et réversible, donc $s_4=s_3$. Elle reçoit le travail $h_4-h_3<0$, c'est-à-dire qu'elle fournit le travail positif

$$w_{\rm t}=h_3-h_4.$$

En général, l'état $4$ se trouve sous la cloche. Son titre se déduit de la conservation de l'entropie, puis son enthalpie de la règle des moments :

$$x_4=\frac{s_3-s_f}{s_g-s_f}, \qquad h_4=h_f+x_4\,(h_g-h_f),$$

les grandeurs de saturation étant prises à la basse pression $P_{\rm b}$.

Le condenseur, $4\to1$.

Il ne fournit aucun travail et reçoit la chaleur $q_{\rm fr}=h_1-h_4<0$ : il rejette $h_4-h_1$ par kilogramme.

En additionnant ces quatre bilans, toutes les enthalpies se compensent, et l'on retrouve le bilan du cycle, $q_{\rm ch}+q_{\rm fr}-w_{\rm t}+w_{\rm p}=0$. Le rendement du cycle vaut

Tout le calcul se ramène donc à déterminer les enthalpies en quatre points. Celles-ci ne se calculent pas avec un modèle simple : l'eau n'est ni un gaz parfait ni un liquide incompressible sur tout le cycle. On les lit dans les tables de la vapeur d'eau, construites à partir de mesures de capacités thermiques et d'équations d'état comme nous l'avons expliqué à la leçon 8.

3.4. Comparaison avec la borne de Carnot

Prenons un cycle typique fonctionnant entre $10$ kPa, pression à laquelle l'eau se liquéfie vers $46\ ^{\circ}\mathrm{C}$, et $10$ MPa, avec une vapeur surchauffée à $500\ ^{\circ}\mathrm{C}$ à l'entrée de la turbine. Avec les tables de la vapeur d'eau, le calcul conduit à un rendement d'environ $40\,\%$, et à un travail de pompe d'à peine un pour cent du travail de la turbine. Entre les mêmes températures extrêmes, $319$ K et $773$ K, le rendement de Carnot vaudrait $59\,\%$. Pourquoi un tel écart, alors que le cycle idéal est réversible ?

La réponse est que le fluide ne reçoit pas toute sa chaleur à $773$ K. Une grande partie est reçue à plus basse température, pendant le chauffage du liquide et pendant la vaporisation, qui se fait à $311\ ^{\circ}\mathrm{C}$ sous $10$ MPa. On peut le quantifier en définissant une température moyenne de réception de la chaleur. Puisque la chaudière fonctionne à pression constante, $dh=T\,ds$, et l'on pose

$$\overline T_{\rm ch}=\frac{q_{\rm ch}}{s_3-s_2}.$$

La chaleur est rejetée, elle, à la température constante $T_{\rm fr}$ du condenseur, et $\lvert q_{\rm fr}\rvert=T_{\rm fr}(s_4-s_1)$. Comme la pompe et la turbine sont isentropiques, $s_3-s_2=s_4-s_1$, et le rendement s'écrit exactement

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_{\rm fr}}{\overline T_{\rm ch}}}$$

Le cycle de Rankine idéal a donc le rendement d'un cycle de Carnot qui recevrait toute sa chaleur à la température moyenne $\overline T_{\rm ch}$. Dans notre exemple, $\overline T_{\rm ch}\approx530$ K seulement, d'où $\eta\approx1-319/530\approx40\,\%$. Pour améliorer le rendement, il faut donc surtout élever la température moyenne à laquelle la chaleur est reçue. C'est le fil conducteur de toutes les améliorations de la machine à vapeur moderne.

4. Améliorer la machine à vapeur

4.1. Surchauffe et resurchauffe

Le calcul précédent révèle un autre problème : à la sortie de la turbine, le titre en vapeur ne vaut qu'environ $0{,}8$. Un cinquième de la masse du fluide est donc formé de gouttelettes d'eau, qui frappent les aubes à grande vitesse et finissent par les éroder. La surchauffe de la vapeur, à l'entrée de la turbine, déplace le point $3$ vers la droite et éloigne la fin de la détente de la zone humide ; elle augmente en même temps la température moyenne de réception de la chaleur, et donc le rendement.

Mais la température maximale est limitée par la résistance des aciers de la chaudière et des aubes. Pour aller plus loin, on interrompt la détente à une pression intermédiaire et l'on renvoie la vapeur dans la chaudière pour la chauffer de nouveau : c'est la resurchauffe, représentée sur la figure 2.

Notons $3$ l'entrée de la turbine haute pression, $4$ sa sortie, $5$ la sortie du resurchauffeur et $6$ la sortie de la turbine basse pression. Les mêmes bilans donnent

La resurchauffe sert d'abord à garder une vapeur suffisamment sèche pendant la seconde détente. Son effet sur le rendement dépend des pressions et des températures choisies, mais il est en général favorable, car la chaleur supplémentaire est reçue à haute température.

4.2. Régénération et cycles supercritiques

On peut aussi éviter de chauffer dans la chaudière l'eau encore froide qui sort de la pompe, car c'est cette partie de la chaleur qui est reçue à la plus basse température. Dans un cycle régénératif, on soutire une petite fraction de la vapeur à un étage intermédiaire de la turbine, et on l'utilise pour préchauffer l'eau qui retourne vers la chaudière. Cette vapeur soutirée ne fournit plus de travail dans la fin de la turbine, mais la chaudière reçoit une eau déjà chaude : la température moyenne de réception de la chaleur augmente, et le rendement aussi.

Enfin, les centrales les plus modernes fonctionnent au-dessus du point critique de l'eau, $P_c\simeq22$ MPa et $T_c\simeq647$ K ^[1]. Il n'y a plus alors de palier de vaporisation dans la chaudière : comme nous l'avons vu à la leçon 10, le fluide passe continûment d'un état dense, de type liquide, à un état de type vapeur. La chaleur n'est plus reçue en grande partie à la température de vaporisation, et la température moyenne de réception augmente encore. Le retour au condenseur, lui, se fait toujours sous la cloche de saturation.

4.3. Les rendements réels

Dans une centrale réelle, les turbines et les pompes ne sont pas réversibles, les échanges de chaleur se font sous des écarts de température finis, et les auxiliaires consomment une partie du travail produit. Le rendement réel se situe donc nettement en dessous de la borne de Carnot. Quelques ordres de grandeur permettent de situer ces machines :

• une centrale nucléaire à eau pressurisée convertit en électricité environ un tiers de la puissance thermique produite par le réacteur, entre $32$ et $36\,\%$ selon les unités ^[2] ;
• une centrale moderne au charbon atteint environ $40\,\%$, et les centrales supercritiques les plus avancées visent le milieu de la quarantaine ^[3].

Le rendement plus faible des centrales nucléaires s'explique en grande partie par une température de vapeur volontairement plus basse, pour des raisons de sûreté et de tenue des matériaux du réacteur. Le second principe impose alors une borne plus sévère, quelle que soit la qualité de la turbine. Ces chiffres signifient aussi que les deux tiers de l'énergie produite par un réacteur sont rejetés sous forme de chaleur, dans une rivière, dans la mer ou dans l'atmosphère par les tours de refroidissement.

Notons enfin que ces valeurs dépendent des conventions retenues, comme le choix entre rendement brut et rendement net, ou la température de la source froide. Une valeur isolée ne se compare donc pas au pour cent près.

5. Le cycle frigorifique à compression de vapeur

Revenons au réfrigérateur. Son cycle utilise lui aussi un fluide qui change de phase, mais parcouru dans le sens récepteur. Le fluide frigorigène n'est pas de l'eau, mais un corps choisi pour ses propriétés thermodynamiques, en particulier pour bouillir à basse température sous des pressions raisonnables. Les anciens réfrigérateurs utilisaient des chlorofluorocarbures, les « fréons », interdits depuis le protocole de Montréal de 1987 parce qu'ils détruisent la couche d'ozone. Les réfrigérateurs domestiques actuels utilisent souvent de l'isobutane.

Le cycle comporte quatre étapes, que l'on peut suivre en partant du fluide froid qui circule à l'intérieur du réfrigérateur :

1. $4\to1$, dans l'évaporateur, à l'intérieur de l'enceinte : le fluide, un mélange de liquide et de vapeur à basse pression et à basse température, prélève de la chaleur à l'enceinte et se vaporise complètement ;
2. $1\to2$, dans le compresseur, à l'extérieur : la vapeur est comprimée et sort à haute pression et à haute température. C'est le compresseur, alimenté électriquement, qui est responsable du bruit caractéristique du réfrigérateur ;
3. $2\to3$, dans le condenseur, la grille située à l'arrière : la vapeur chaude cède de la chaleur à la pièce et se liquéfie ;
4. $3\to4$, dans le détendeur : le liquide sous haute pression traverse un étranglement, un capillaire ou une vanne, et sa pression chute brutalement. Une partie du liquide se vaporise, ce qui refroidit le mélange : le fluide atteint son état le plus froid du cycle, et le cycle recommence.

Le bilan (2), appliqué à chaque composant, donne

$$w_{\rm comp}=h_2-h_1,\qquad q_{\rm fr}=h_1-h_4,\qquad \lvert q_{\rm ch}\rvert=h_2-h_3,\qquad h_4=h_3,$$

la dernière égalité traduisant la détente isenthalpique dans le détendeur. Le coefficient de performance du réfrigérateur s'écrit donc

Le détendeur est la principale source d'irréversibilité du cycle idéal : on renonce à récupérer le travail de la détente, qui serait très faible, pour gagner en simplicité. C'est l'une des raisons pour lesquelles le COP d'un réfrigérateur réel, de l'ordre de $2$ à $3$, reste nettement inférieur à la borne réversible, qui vaut environ $5{,}5$ entre un congélateur à $-18\ ^{\circ}\mathrm{C}$ et une cuisine à $28\ ^{\circ}\mathrm{C}$ autour du condenseur.

6. Les cycles ouverts

6.1. La turbine à gaz

Une turbine à gaz, comme celles qui équipent les avions ou certaines centrales électriques, fonctionne en écoulement ouvert : elle aspire de l'air, le comprime, y brûle un combustible, puis détend les gaz chauds dans une turbine avant de les rejeter dans l'atmosphère. Chaque masse d'air ne parcourt donc la machine qu'une seule fois, et le fluide ne décrit pas de cycle. Pour la calculer, on la modélise cependant par un cycle fermé fictif, le cycle de Brayton, dans lequel la combustion est remplacée par un apport de chaleur à pression constante et le rejet des gaz par un refroidissement à pression constante.

Le bilan (2) donne le travail reçu par le compresseur, $w_{\rm c}=h_2-h_1$, la chaleur reçue dans la chambre de combustion, $q_{\rm ch}=h_3-h_2$, et le travail fourni par la turbine, $w_{\rm t}=h_3-h_4$. Le travail net n'est positif que si la turbine fournit plus de travail que le compresseur n'en consomme, ce qui est possible parce qu'elle détend un gaz bien plus chaud, donc de plus grand volume. Pour un gaz parfait de capacités thermiques constantes, avec une compression et une détente isentropiques, les lois de Laplace de la leçon 5 conduisent au rendement

$$\eta=1-r_P^{-(\gamma-1)/\gamma}, \qquad r_P=\frac{P_2}{P_1},$$

qui augmente avec le rapport de pression $r_P$. Mais la température d'entrée de la turbine est limitée par la résistance des aubes, et, à température maximale fixée, un rapport de pression trop élevé finit par réduire le travail net. Une turbine à gaz simple convertit typiquement $20$ à $35\,\%$ de l'énergie du combustible en électricité ^[4]. Ses gaz d'échappement sortent donc encore très chauds, à plusieurs centaines de degrés.

6.2. Le cycle combiné

Ces gaz d'échappement chauds constituent une source de chaleur parfaitement utilisable. Dans une centrale à cycle combiné, ils traversent une chaudière de récupération, qui produit la vapeur d'un cycle de Rankine entraînant une seconde turbine (figure 3).

Si la turbine à gaz convertit une fraction $\eta_g$ de l'énergie $Q$ du combustible en travail, elle rejette $(1-\eta_g)Q$ dans ses gaz d'échappement. Si le cycle vapeur convertit à son tour une fraction $\eta_v$ de cette chaleur, le travail total vaut $\eta_gQ+\eta_v(1-\eta_g)Q$, et le rendement global est

Avec $\eta_g=0{,}40$ et $\eta_v=0{,}35$, on trouve déjà $61\,\%$. Lors de sa mise en service en 2016, la centrale à cycle combiné de Bouchain, dans le Nord, a ainsi démontré un rendement net de $62{,}2\,\%$ ^[5]. C'est l'un des rendements les plus élevés jamais atteints par une centrale thermique. Il ne contredit en rien la borne de Carnot : il s'agit simplement d'utiliser successivement la chaleur à haute température, puis la chaleur résiduelle à température plus basse, avant le rejet final.

7. Bilan

Toutes ces machines obéissent aux mêmes principes. Le premier fixe le bilan d'énergie, qui s'écrit naturellement avec l'enthalpie pour les écoulements. Le second impose de rejeter une partie de la chaleur à la source froide, et fixe la borne de Carnot. Les ingénieurs ne cherchent donc pas à contourner cette borne, mais à s'en approcher : en recevant la chaleur à la température moyenne la plus élevée possible, en la rejetant à la plus basse, et en réduisant les irréversibilités.

8. Références