Machines thermiques

1. Objectifs du chapitre

• Comment utiliser l’énergie thermique et la convertir en travail ? La machine à vapeur. Notion de cycle ditherme, notion de rendement.
• Peut-on utiliser du travail pour pomper de la chaleur ? La pompe à chaleur, le frigidaire.
• Cycle ditherme et thermodynamique : l'inégalité de Clausius.
• Pourquoi ne peut-on convertir intégralement la chaleur en travail ? Retour sur les premier et second principes : les formulations historiques du second principe
• Le rendement de Carnot, le cycle de Carnot.
• (en TD) les autres cycles : cycle de Rankine (machine à vapeur), cycle Diesel, cycle de Stirling.

2. La machine à vapeur et le frigidaire

2.1. La machine à vapeur

La machine à vapeur la plus connue, celle des locomotives de l'époque, ne fonctionnent pas en cycle puisque l'eau vaporisée qui actionne une turbine est simplement rejetée dans l'air. Les trains devaient donc s'arrêter pour recharger en eau le réservoir. Mais il est possible de faire un circuit fermé pour l'eau, et alors la seule chose à recharger est le combustible qui agit comme source de chaleur.

Voici le schéma de principe ci-dessous. Dans ce schéma, une source de chaleur vaporise de l'eau froide dans la chaudière (charbon, fuel, ou dans les centrales nucléaires, la chaleur produite par la fission des atomes). A ce moment l'eau reçoit de la chaleur. Cette vapeur pousse sur des pales ou des pistons et ce mouvement est transformé en travail mécanique récupéré à l'extérieur : l'eau fournit un travail à l'extérieur. La vapeur d'eau est ensuite condensée en liquide froid dans le condenseur, qui est en contact thermique avec une source froide pour refroidir la vapeur. Dans ce processus, l'eau cède de la chaleur à l'extérieur. Ensuite, on réintègre cette eau refroidie (liquide) dans la chaudière par une pompe (ici, l'eau subit un travail extérieur : il faut fournir un travail depuis l'extérieur pour réaliser cela).

L'eau dans ce cas s'appelle le "fluide travail". C'est un cycle en quatre temps ditherme, car couplé à deux sources de chaleur de deux températures différentes. L'énergie interne du fluide de travail est inchangée à la fin d'un cycle. On a donc le bilan $\Delta U = 0 = Q_c + W_f + Q_f + W_r$. On adopte toujours les conventions de signes du banquier. Ici, $Q_c$ est l'apport de chaleur de la source chaude (le charbon qui brûle), et donc c'est une chaleur reçue : $Q_c >0$. $W_f$ est le travail fourni dans la turbine. Ici c'est l'eau qui fournit du travail, donc $W_f < 0$. Ensuite $Q_f$ est la chaleur reçue par l'eau lorsqu'elle se refroidit dans le condenseur, donc $Q_f < 0$. Enfin la pompe fournit du travail à l'eau, donc $W_r >0$.

Le but d'une machine à vapeur est de convertir au mieux l'énergie introduite (ici thermique reçue du charbon qui brûle $Q_c$), en travail fourni à l'extérieur. Le bilan net de ce qu'on fournit à l'extérieur n'est pas juste $-W_f >0$ mais $-W_f-W_r$ puisqu'une partie du travail produit doit servir à alimenter la pompe. On définit donc le rendement de la machine par le rapport:

où l'on rappelle que $Q_f < 0$. Le rendement est donc a priori inférieur à 1. (Un rendement supérieur à 1 reviendrait à produire de l'énergie à partir de rien). Jusqu'ici, tout est donc normal.

Des généralisations à plusieurs (plus que 2) sources de chaleur sont possibles mais non abordées dans ce cours.

2.2. Le frigidaire

L'idée essentielle du frigidaire est de faire entrer dans l'enceinte à refroidir un fluide plus froid que l'air ambiant, de sorte que l'on ôte de la chaleur au milieu à refroidir, puis on éjecte cette chaleur à l'extérieur (vous noterez chez vous que la grille métallique, qui est un échangeur de chaleur, située en général derrière le frigo et à l'extérieur de celui-ci est chaude, même très chaude). C'est une pompe à chaleur, dont les version en grande taille sont aussi utilisées comme chauffage du domicile, en particulier à la campagne (sauf que dans ce cas, on condense à l'intérieur de la maison, et on refroidit l'air extérieur).

Revenons au frigidaire. Il s'agit encore d'un cycle à quatre temps et ditherme : la température dans l'enceinte, et la température de l'air extérieur qui sert de thermostat.

Le cycle est le suivant (commençons par un fluide froid qui pénètre dans le frigidaire, on verra à la dernière étape comment il est produit). Cette description est copiée-collée de Wikipédia puisque tout-à-fait correcte :

1. (a l'intérieur du frigidaire) Évaporation : le fluide réfrigérant et partiellement vaporisé circule dans un échangeur de chaleur (évaporateur) qui se trouve dans l'ambiance à refroidir. Il soustrait de la chaleur au médium (air) pour refroidir celui-ci. En absorbant de la chaleur, le réfrigérant s'évapore complètement (passage de l'état liquide à l'état gazeux).
2. (a l'extérieur du frigidaire) Compression : le réfrigérant à l'état vapeur est compressé et sort du compresseur à haute pression et haute température ;
3. (idem) Condensation : la vapeur très chaude (et compressée) passe dans un condenseur (ou échangeur de chaleur) où elle va céder de la chaleur au milieu ambiant (l'air de la pièce), ce qui va lui permettre de se liquéfier, c'est-à-dire passer de l'état vapeur (gazeux) à l'état liquide ;
4. (à l'intérieur) Détente : à la sortie du condenseur le liquide sous haute pression est détendu en faisant baisser rapidement la pression dans un détendeur (en faisant circuler le fluide au travers d'un orifice). Cette subite baisse de pression a pour effet de vaporiser une partie du fluide. Le réfrigérant est à présent à son état le plus froid du cycle ; retour au point numéro 1

En termes de bilan, une source d'énergie extérieur (du courant électrique) fournit l'énergie au condenseur qui se trouve à l'extérieur du frigidaire et qui d'ailleurs est l'objet responsable du bruit caractéristique d'un frigidaire.

Le fluide de travail utilisé n'est pas de l'eau mais en général (et ça peut varier) du fréon, dont plusieurs types existent, par exemple le tétrachlorométhane (4 Chlore un carbone). Ces fluides sont choisis pour leurs caractéristiques thermodynamiques (notamment pour les valeurs numériques des points de liquéfaction/vaporisation, chaleurs latentes, $C_p$ et $C_V$ et $\gamma$, etc. mais cela dépasse le cadre de ce cours).

On peut définir une sorte d'équivalent au rendement, que l'on nomme dans ce cas efficacité, mais on y reviendra juste ci-dessous.

3. Généralisation : les cycles dithermes

Même s'il s'agit des mêmes systèmes, on distingue en termes d'efficacité la pompe à chaleur dont l'efficacité est relative au flux de chaleur vers la source chaude (puisqu'on veut chauffer une maison), du frigidaire où l'efficacité réfère au flux de chaleur ôtée à la source froide. Ainsi :

Le rendement du moteur est défini par:

L'efficacité de la pompe à chaleur par:

et l'efficacité du réfrigérateur par:

A noter que ces deux efficacités peuvent être plus grandes que 1, tandis que le rendement est nécessairement inférieur ou égal à 1 par conservation de l'énergie.

4. L'inégalité de Clausius

Le long d'un cycle, on a par définition $\Delta S = 0$, or, en quasi-statique:

mais l'entropie créee satisfait $dS_c \geq 0$ et $dS_{ech} = \delta Q/ T$ donc on déduit que:

connue sous le nom d'inégalité de Clausius, avec égalité dans le cas réversible. Lorsque le cycle ne contient que deux isothermes lors des contacts avec les sources chaudes et froides, en particulier, on a alors:

En reportant cela dans les rendements et efficacités définies plus haut, on trouve (exercice : le faire / voir aussi exo 1 TD6) :

• Rendement max : $\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}$
• Efficacité max réfrigérateur : $\eta = \frac{T_f}{T_c - T_f}$
• Efficacité max pompe à chaleur : $\eta = \frac{T_c}{T_c - T_f}$

5. Le cycle de Carnot

Le cycle de Carnot se définit par deux isothermes "chauds" et "froids", et deux adiabatiques qui les connecte. Il s'applique à n'importe quel système a priori, mais ici on spécialisera au cas du GP. De plus, on s'intéresse au cas réversible.

Ce genre de cycle, ou autres du même genre (Diesel, Stirling, voir TD), s'applique assez bien à la description des moteurs à explosion en première approximation.

On rappelle qu'en diagramme PV, et pour un GP dont le terme de travail s'écrit $-P dV$, le cycle est moteur s'il est parcouru dans le sens horaire, et récepteur dans le cas contraire. (cf. Chp 2, section 2.4), et que par ailleurs le travail total sur un cycle est égal à plus ou moins l'aire du cycle. On note que dans le cas d'un GP, cette aire est d'autant plus grande, à rapport volumétrique fixé, que les adiabatiques sont penchées, c'est-à-dire que $\gamma$ est grand.

Ce rapport volumétrique dont on parle est l'égalité $V_B/V_A = V_C/V_D$ qui se démontre aisément, cf ci-dessous. Mais dans l'ordre regardons le bilan des travaux et chaleur sur ce cycle.

• De A à B : $\Delta U = 0$ car isotherme donc $W = - \in p dV = - n R T_c \int dV/V = - n R T_c \ln(V_B/V_A)$. Le gaz fournit du travail et reçoit de la chaleur $Q = - W$
• De B à C : $Q=0$, et le travail est calculable par l'intégration via une loi de Laplace; ou plus simplement par $\Delta U = W = n R (T_f - Tc) < 0$. Le gaz fournit du travail et se refroidit.
• de C à D et de D à A, calculs symétriques des précédents. Il vient sur CD : $W = - n R T_f \ln(V_D/V_C)$ qui est positif, et $Q = -W$ : le gaz reçoit du travail et expulse de la chaleur dans la source froide ; et sur DA, $Q = 0$ et $W = n R (T_c - T_f) > 0$. Le gaz reçoit du travail et se réchauffe.

La contrainte globale $\Delta U = 0$ sur le cycle ne nous apprend rien ici (cad on trouve $0=0$); en revanche si on utilise $\Delta S = 0$ et l'inégalité de Clausius qui en découle, on a, dans le cas réversible :

ce qui démontre que les rapports volumétriques sont égaux, comme annoncé plus haut. Si enfin on calcule le rendement, on trouve naturellement le rendement de Carnot maximal :

où dans la première égalité on rappelle que $W_{tot} < 0$, dans la deuxième on a utilisé $\Delta U = 0 = Q_{tot} + W_{tot}$, et dans la dernière les calculs réalisés ci-dessus sur les différentes branches du cycle.

6. Différentes énoncés historiques du second principe

Dans l'ordre historique :

1. Carnot : ”Toutes les machines thermiques dithermes réversibles fonctionnant entre deux températures données $T_1$ et $T_2$ ont le même rendement.”
2. Clausius : ”Il ne peut pas s’effectuer, sans compensation, de passage de chaleur d’un corps froid à un corps plus chaud”.
3. Kelvin : ”A l’aide d’un système qui décrit un cycle et qui n’est en contact qu’avec une seule source de chaleur, il est impossible de recueillir du travail.”

C'est Carnot qui introduit réellement en premier (en 1824) les bases de ce qui deviendra le second principe de la thermodynamique, dans l'ouvrage suivant.

Comme on peut le lire, Carnot s'intéresse avant toute chose à l'efficacité maximale des machines thermiques, si un tel maximum existe, si oui s'il est universel, et si oui, ce qu'il vaut. Carnot a alors un raisonnement théorique parfaitement admirable, lié aux arguments réversibles/irréversibles, et à l'impossibilité que transite spontanément de la chaleur d'un milieu froid vers un milieu chaud (énoncé de Clausius, mais que Carnot a déjà en tête comme tout le monde à l'époque).

Le raisonnement est le suivant. Soit une machine réversible et deux sources de chaleur chaude et froide. On note $\eta_M$ le rendement de cette machine en mode générateur, c'est-à-dire que $|W| = \eta_M |Q_c|$. On note que si on fait fonctionner cette machine en sens inverse (puisqu'elle est réversible), alors on a toujours l'équation $\eta = |W|/|Q_c|$, c'est-à-dire que son efficacité en pompe à chaleur vaut $1/\eta$.

On imagine alors deux machine thermique ditherme réversible dont les rendements seraient différents. la première a $\eta_M > \eta_L$. On s'affranchit ici des règles du banquier, et tous les flux sont positifs dans le sens de la flèche, on obtient alors le graphe suivant (extrait de Wikipédia) :

On vérifiera que l'énergie est bien conservée dans ce schéma, car la chaleur qui sort de la source froide vaut $Q(\frac{\eta_M}{\eta_L} -1)$ et la chaleur qui entre dans la source chaude vaut la même chose, et qu'au final aucun travail n'est produit. Maintenant le paradoxe vient de ce que, avec $\eta_M > \eta_L$, le dispositif que l'on a dessiné a pour effet net d'extraire de la chaleur de la source froide et de l'amener entièrement vers la source chaude, en contradiction avec l'expérience commune du fait que l'énergie s'écoule du chaud vers le froid, et non dans l'autre sens. Si donc on suppose l'énoncé de Clausius, alors on démontre l'énoncé de Carnot. Maintenant, il faut voir qu'à l'époque Carnot est capable par ce raisonnement de prouver que le rendement des machines dithermes réversibles est le même pour tous, et donc ne peut dépendre que des températures $T_f$ et $T_c$ et non des détails de la machine ou de la nature du fluide de travail, mais il n'a pas su obtenir l'expression qu'on lui a vu plus haut. C'est Clausius et Kelvin qui finiront le travail plus tard.

Rq : si une des machines est irréversible, on peut encore faire des raisonnements du même type, et on est aussi capable, en plus, de démontrer que le rendement des machines irréversibles est nécessairement plus faible que celui des machines réversibles. pour plus de détails, consulter la page Wikipédia anglaise "Carnot's theorem (thermodynamics)".

A l'aide de raisonnements similaires, on peut aussi démontrer l'équivalence avec la formulation de Kelvin du second principe, dont le schéma serait le suivant.

Ici on va plutôt le démontrer à l'aide de notre formulation moderne du second principe (c'est plus simple). Si on avait un tel moteur, on aurait d'une part, en convention du banquier, $W + Q_1 + Q_2 = 0$ par conservation de l'énergie avec $W < 0$ (travail produit), $Q_1 < 0$ (chaleur fournie), $Q_2 > 0$ (chaleur reçue). Mais comme on a l'inégalité de Clausius $Q_1/T_c + Q_2/T_2 \leq 0$, il vient $-W/T_c = (Q_1+Q_2)/T_c \leq 0$, donc $W \geq 0$ : on voit qu'il est impossible que cette machine fournisse du travail.

Ce principe est en général illustré par le fait qu'il n'est pas possible, sur un bateau, de prendre de l'eau de mer, d'en extraire de la chaleur pour le convertir en travail, et de rejeter à la mer de l'eau plus froide (ou même des glaçons).

En revanche, comme sur la mer il y a d'une part une source froide (l'eau) et une source en général plus chaude (l'air au dessus), il est en fait possible, en faisant fonctionner des cycles dithermes dont une partie est émergée, et l'autre immergée, d'avancer sur l'eau sans voile ni moteur à essence.

On termine cette section par l'introduction de la fonction entropie par Clausius. Historiquement, Clausius reconnaît le travail de Carnot, et par ailleurs comprend que sur un cycle de Carnot avec GP, l'efficacité maximale vaut $1 - T_f/T_c$ (pour le démontrer on peut pas utiliser l'inégalité de Clausius à ce stade, mais on peut calculer explicitement les termes de travail via la loi de Laplace dans les phases adiabatiques, cf. plus haut). Clausius en déduit alors qu'un cycle ditherme satisfait nécessairement $Q_f/T_f + Q_c/T_c \leq 0$. Il généralise cela à tout cycle constitué éventuellement de nombreuses isothermes, de sorte que sur un tel cycle, on a l'inégalité:

Dans le cas réversible, on a égalité. Mais, mathématiquement, une fonction qui satisfait $\oint \delta f = 0$ sur n'importe quel chemin est nécessairement une différentielle exacte. Clausius en déduit alors qu'il doit exister une fonction $S$ dont la différentielle vaut $dS = \delta Q/T$, et ainsi est née l'entropie.

7. Diagramme PV et TS de Rankine

cf TD.