Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle de Rankine à vapeur d'eau

Exercice 59 · Leçon 11 — Machines thermiques et frigidaires

  • Rankine
  • pompe
  • chaudière
  • turbine
  • condenseur
  • titre vapeur
  • rendement

Énoncé

Un cycle de Rankine idéal fonctionne entre 10 kPa10\,\mathrm{kPa} et 10 MPa10\,\mathrm{MPa}. À la sortie du condenseur,

h1=191,8 kJ kg−1,v1=1,010×10−3 m3 kg−1.h_1=191{,}8\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}},\qquad v_1=1{,}010\times10^{-3}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}}.

À l'entrée de la turbine, à 500,∘C500,{}^\circ\mathrm C,

h3=3375,1 kJ kg−1,s3=6,5995 kJ kg−1 K−1.h_3=3375{,}1\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}},\qquad s_3=6{,}5995\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}.

À 10 kPa10\,\mathrm{kPa}, on donne sf=0,6492s_f=0{,}6492, sfg=7,4996 kJ kg−1 K−1s_{fg}=7{,}4996\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} et hfg=2392,1 kJ kg−1h_{fg}=2392{,}1\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}.

  1. Établir littéralement le travail de pompe wp≃v1(P2−P1)w_p\simeq v_1(P_2-P_1) et l'enthalpie h2h_2.
  2. La turbine est isentropique. Établir littéralement le titre x4x_4 puis h4h_4. Effectuer ensuite l'application numérique des deux premières questions.
  3. Établir le travail de turbine, le travail net, la chaleur reçue dans la chaudière et le rendement, puis calculer leurs valeurs.
  4. Pour m˙=100 kg s−1\dot m=100\,\mathrm{kg\,s^{-1}}, calculer la puissance mécanique nette. Commenter le titre en sortie de turbine.

Indication
Dans la zone diphasique, s4=sf+x4sfgs_4=s_f+x_4s_{fg} et h4=h1+x4hfgh_4=h_1+x_4h_{fg}.

Solution détaillée

Solution
1. Dans une pompe adiabatique parcourue par un liquide presque incompressible, le travail reçu par unité de masse est

wp=∫P1P2v dP.w_p=\int_{P_1}^{P_2}v\,\mathrm dP.

Comme v≃v1v\simeq v_1 est presque constant,

wp≃v1(P2−P1),h2=h1+wp.\boxed{w_p\simeq v_1(P_2-P_1)}, \qquad \boxed{h_2=h_1+w_p}.

Pour l'application numérique, la différence de pression vaut P2−P1=10,00×106−0,010×106=9,99×106 PaP_2-P_1=10{,}00\times10^6-0{,}010\times10^6 =9{,}99\times10^6\,\mathrm{Pa}. Donc

wp=v1(P2−P1)=1,010×10−3×9,99×106=1,009×104 J kg−1≃10,1 kJ kg−1.w_p=v_1(P_2-P_1) =1{,}010\times10^{-3}\times9{,}99\times10^6 =1{,}009\times10^4\,\mathrm{J\,kg^{-1}} \simeq10{,}1\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}.

La pompe reçoit ce travail, d'où h2=h1+wp≃201,9 kJ kg−1h_2=h_1+w_p\simeq201{,}9\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}.

2. L'isentropique impose s4=s3s_4=s_3. À la sortie, le fluide est diphasique, donc son entropie et son enthalpie s'écrivent

s4=sf+x4sfg,h4=hf+x4hfg.s_4=s_f+x_4s_{fg}, \qquad h_4=h_f+x_4h_{fg}.

Ici hf=h1h_f=h_1, car l'état 1 est le liquide saturé à la pression du condenseur. En isolant le titre dans la première relation,

x4=s3−sfsfg,h4=h1+x4hfg.\boxed{x_4=\frac{s_3-s_f}{s_{fg}}}, \qquad \boxed{h_4=h_1+x_4h_{fg}}.

L'application numérique donne

x4=s3−sfsfg=6,5995−0,64927,4996≃0,793.x_4=\frac{s_3-s_f}{s_{fg}} =\frac{6{,}5995-0{,}6492}{7{,}4996} \simeq0{,}793.

Puis

h4=h1+x4hfg≃191,8+0,793×2392,1≃2089 kJ kg−1.h_4=h_1+x_4h_{fg} \simeq191{,}8+0{,}793\times2392{,}1 \simeq2089\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}.

3. La turbine est adiabatique : le travail qu'elle fournit par unité de masse est sa chute d'enthalpie,

wt=h3−h4.w_t=h_3-h_4.

La pompe consomme wpw_p, donc le travail net fourni par le cycle est

wnet=wt−wp=(h3−h4)−(h2−h1).w_{\rm net}=w_t-w_p=(h_3-h_4)-(h_2-h_1).

La chaudière, sans travail mécanique, apporte

qin=h3−h2.q_{\rm in}=h_3-h_2.

Le rendement thermique est par définition

η=wnetqin.\boxed{\eta=\frac{w_{\rm net}}{q_{\rm in}}}.

Numériquement,

wt=3375,1−2089≃1286 kJ kg−1,wnet=1286−10,1≃1276 kJ kg−1,qin=3375,1−201,9=3173,2 kJ kg−1,w_t=3375{,}1-2089\simeq1286\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}, w_{\rm net}=1286-10{,}1\simeq1276\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}, \qquad q_{\rm in}=3375{,}1-201{,}9=3173{,}2\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}},

puis

η≃12763173,2=0,402,\eta\simeq\frac{1276}{3173{,}2}=0{,}402,

soit environ $40{,}2 \%$ dans ce modèle idéal. $ 4. La puissance nette est

W˙net=m˙wnet≃100×1276 kW=128 MW.\dot W_{\rm net}=\dot m w_{\rm net} \simeq100\times1276\,\mathrm{kW}=128\,\mathrm{MW}.

Le titre x4≃0,79x_4\simeq0{,}79 signifie environ 21 %21\,\% de liquide en masse en sortie. Cette humidité est trop importante pour une turbine réelle, ce qui justifie notamment le recours à la surchauffe et à la resurchauffe.