Exercice corrigé de thermodynamique

Cycle de Rankine simplifié

Exercice 57 · Leçon 10 — Machines thermiques

  • Rankine
  • machine à vapeur
  • cycle ditherme
  • rendement
  • changement de phase

Version de travail — cet exercice est encore en cours de relecture.

Énoncé

Un cycle de Rankine idéal pour la vapeur d'eau comprend : (1) compression liquide adiabatique 1→21\to2 ; (2) chauffage isobare 2→32\to3 jusqu'à la vaporisation complète ; (3) détente adiabatique réversible dans une turbine 3→43\to4 ; (4) condensation isobare à TfT_f 4→14\to1.

  1. Pourquoi la compression du liquide (étape 1→21\to2) consomme-t-elle peu de travail comparé à la détente vapeur (3→43\to4) ?
  2. On donne h2=420h_2 = 420 kJ·kg−1^{-1}, h3=3200h_3 = 3200 kJ·kg−1^{-1}, h4=2200h_4 = 2200 kJ·kg−1^{-1}, h1=200h_1 = 200 kJ·kg−1^{-1} (enthalpies massiques). Calculer le travail net w=(h3−h4)−(h2−h1)w = (h_3-h_4) - (h_2-h_1) et le rendement η=w/(h3−h2)\eta = w/(h_3-h_2).
  3. Comparer qualitativement η\eta au rendement de Carnot entre Tc≈600T_c \approx 600 K (vapeur) et Tf≈300T_f \approx 300 K.

Indication
Liquide incompressible : wpompe=vl(P2−P1)w_{pompe} = v_l(P_2-P_1) très petit. Turbine : wT=h3−h4w_T = h_3-h_4.

Solution détaillée

Solution
Question 1. Le liquide a un volume spécifique vl≪vgv_l \ll v_g : la pompe comprime un liquide quasi-incompressible, w≈vlΔPw \approx v_l\Delta P est faible. La turbine détend de la vapeur à grand volume : wT=h3−h4w_T = h_3-h_4 est large.

Question 2. w=(3200−2200)−(420−200)=1000−220=780w = (3200-2200) - (420-200) = 1000 - 220 = 780 kJ·kg−1^{-1}. η=780/(3200−420)=780/2780≈28 %\eta = 780/(3200-420) = 780/2780 \approx 28\,\%.

Question 3. Carnot : ηC=1−300/600=50 %\eta_C = 1 - 300/600 = 50\,\%. Rankine ≈28 %\approx 28\,\% : inférieur car la détente adiabatique s'écarte de l'isotherme (brouillard diphasique en 44), et la pompe/condensation dissipent de l'irréversibilité réelle — cycle réaliste des centrales à charbon/nucléaire.