Thermodynamique du rayonnement

Le rayonnement est un mode de transfert d'énergie qui n'a pas besoin de matière pour se propager. C'est ainsi que le Soleil chauffe la Terre à travers le vide spatial, que nous sentons la chaleur d'un feu de cheminée à distance, ou que notre corps échange de l'énergie avec les murs d'une pièce, même lorsque l'air est immobile. Jusqu'ici, nous avons parlé de chaleur sans jamais préciser comment elle se transmet : par conduction, par convection, ou par rayonnement. Cette dernière leçon est consacrée au rayonnement.

Nous verrons d'abord que le rayonnement enfermé dans une enceinte à l'équilibre constitue lui-même un système thermodynamique, auquel s'appliquent tous les outils que nous avons construits. Ce « gaz de photons » est un système remarquable : sans aucune hypothèse sur sa nature microscopique, la thermodynamique permet de démontrer que son énergie croît comme la puissance quatrième de la température. Nous en déduirons la loi de Stefan-Boltzmann, puis nous l'utiliserons pour écrire des bilans d'énergie, du corps humain à la planète Terre, en passant par l'effet de serre et les satellites.

1. Le rayonnement thermique

1.1. Tout corps chaud rayonne

À température non nulle, toute matière émet un rayonnement électromagnétique, appelé rayonnement thermique. Son origine est microscopique : les charges électriques de la matière, électrons et noyaux, sont animées d'un mouvement d'agitation thermique, et toute charge accélérée rayonne. Un objet à température ambiante émet surtout dans l'infrarouge, domaine invisible à l'œil mais que l'on peut détecter avec une caméra thermique. Lorsqu'on chauffe un morceau de métal, une partie de son émission atteint le domaine visible : il rougit, puis devient jaune et presque blanc à très haute température. Le filament d'une ancienne ampoule à incandescence, à environ $2500$ K, en est un exemple. Inversement, la matière absorbe une partie du rayonnement qu'elle reçoit.

1.2. Le rayonnement d'équilibre et le corps noir

Considérons une enceinte fermée, vide de matière, dont les parois sont maintenues à la température $T$. Les parois émettent du rayonnement vers l'intérieur et absorbent celui qui les frappe. Au bout d'un certain temps, il s'établit un état d'équilibre dans lequel la cavité est remplie d'un rayonnement stationnaire, en équilibre thermique avec les parois : c'est le rayonnement d'équilibre, ou rayonnement du corps noir.

Le second principe permet d'établir une propriété fondamentale de ce rayonnement : sa densité d'énergie $u$, c'est-à-dire l'énergie par unité de volume, ne dépend que de la température, et pas du matériau des parois ni de la forme de la cavité. Supposons en effet que deux cavités à la même température $T$, faites de matériaux différents, contiennent des rayonnements de densités d'énergie différentes. Relions-les par un petit tube. Le rayonnement de la cavité la plus « riche » passerait davantage vers l'autre que l'inverse, et transférerait de l'énergie de la première vers la seconde. On pourrait alors faire fonctionner un moteur entre ces deux cavités initialement à la même température, ce qui est interdit par l'énoncé de Kelvin-Planck du second principe. Ce raisonnement, dû à Kirchhoff en 1860, montre que

Le rayonnement d'équilibre est donc universel : c'est lui que l'on appelle rayonnement du corps noir. Le nom vient de ce qu'une petite ouverture pratiquée dans la paroi de la cavité laisse s'échapper exactement ce rayonnement, et se comporte comme un corps parfaitement absorbant : un rayon qui y entre subit de nombreuses réflexions à l'intérieur et n'a pratiquement aucune chance d'en ressortir. Un tel trou paraît parfaitement noir, à température ambiante.

2. Le gaz de photons

2.1. La pression de radiation

Le rayonnement contenu dans la cavité n'est pas seulement de l'énergie : il exerce aussi une pression sur les parois, appelée pression de radiation. L'électromagnétisme, ou de façon équivalente la description du rayonnement comme un gaz de photons se déplaçant à la vitesse de la lumière dans toutes les directions, montre que cette pression vaut

pour un rayonnement isotrope. Nous admettrons ce résultat, qui joue le rôle d'une équation d'état. Il est intéressant de le comparer à celui du gaz parfait monoatomique, pour lequel $U=\frac32PV$, c'est-à-dire $P=\frac23u$ : le facteur est différent parce que les photons ont une vitesse fixe, et une énergie proportionnelle à leur quantité de mouvement, au lieu d'une énergie cinétique $p^2/2m$.

Le rayonnement dans la cavité est donc un système thermodynamique simple, de volume $V$, d'énergie interne $U=u(T)\,V$ et de pression $P=u(T)/3$. Nous disposons de deux équations d'état, exactement comme pour le gaz parfait à la leçon 7. Voyons ce que la thermodynamique peut en tirer.

2.2. La loi de Stefan-Boltzmann

À la leçon 8, nous avons établi, à partir de la seule relation fondamentale, l'expression de la variation de l'énergie interne avec le volume à température constante :

Pour le rayonnement, $U=u(T)\,V$ donne $\drp{U}{V}{T}=u$, et $P=u/3$ donne $\drp{P}{T}{V}=u'(T)/3$. La relation devient

Cette équation différentielle s'intègre immédiatement, et l'on obtient

où $a$ est une constante. C'est la loi de Stefan-Boltzmann. Stefan l'avait découverte expérimentalement en 1879, et Boltzmann en donna en 1884 la démonstration thermodynamique que nous venons de reproduire. Le résultat est spectaculaire : la thermodynamique, armée seulement de la relation fondamentale et de l'équation d'état $P=u/3$, détermine complètement la dépendance en température de l'énergie du rayonnement.

Comme pour la formule de Sackur-Tetrode, la thermodynamique ne peut pas, en revanche, fixer la valeur de la constante $a$. Il a fallu attendre Planck, en 1900, et la naissance de la physique quantique pour la calculer : $a\approx7{,}57\times10^{-16}\ \mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-4}}$. Cette valeur est très faible : à température ambiante, la densité d'énergie du rayonnement vaut à peine $6\times10^{-6}\ \mathrm{J\,m^{-3}}$, et sa pression quelques micropascals. Mais la croissance en $T^4$ est si rapide que, au cœur des étoiles les plus massives, la pression de radiation devient comparable à celle de la matière.

2.3. Entropie et potentiel chimique du rayonnement

Nous pouvons maintenant calculer l'entropie du rayonnement. La relation fondamentale à volume variable donne

Avec $U=aT^4V$, on a $dU=4aT^3V\,dT+aT^4\,dV$, et $P\,dV=\frac13aT^4\,dV$. Il vient

d'où

La constante d'intégration est nulle, puisque l'entropie doit être extensive, proportionnelle à $V$. On remarque que $S$ tend vers zéro avec la température, en accord avec le troisième principe.

Calculons enfin l'enthalpie libre du rayonnement :

D'après la leçon 9, $G=\mu N$ pour un système extensif : le potentiel chimique des photons est donc nul. Ce résultat a une interprétation simple. Le nombre de photons dans la cavité n'est pas conservé : les parois en émettent et en absorbent sans cesse. À l'équilibre, le nombre de photons s'ajuste donc librement, comme une variable interne, de façon à rendre l'énergie libre minimale à $T$ et $V$ fixés. La condition de minimum, $\drp{F}{N}{T,V}=\mu=0$, est précisément l'annulation du potentiel chimique.

3. Du rayonnement d'équilibre au rayonnement émis

3.1. La puissance émise par un corps noir

Quelle puissance s'échappe d'une petite ouverture pratiquée dans la paroi d'une cavité ? Les photons se déplacent à la vitesse $c$ dans toutes les directions ; seuls ceux qui se dirigent vers l'ouverture sortent, d'autant moins efficacement que leur direction est oblique. Un calcul de géométrie, que nous admettrons, montre que la puissance émise par unité de surface de l'ouverture, appelée émittance, vaut $M=cu/4$. Avec la loi de Stefan-Boltzmann, on obtient

où $\sigma=ac/4\approx5{,}67\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ est la constante de Stefan-Boltzmann. C'est sous cette forme que la loi est le plus souvent utilisée. Un corps noir, c'est-à-dire un corps qui absorbe tout le rayonnement qu'il reçoit, émet exactement cette puissance par unité de surface.

Un corps réel émet moins qu'un corps noir à la même température. En première approximation, on le décrit par une émissivité $\varepsilon$, comprise entre $0$ et $1$ :

La peau humaine, l'eau ou la plupart des peintures ont une émissivité proche de $1$ dans l'infrarouge, tandis qu'un métal poli a une émissivité très faible. Le second principe impose en outre la loi de Kirchhoff : à une même longueur d'onde, un bon absorbeur est aussi un bon émetteur, et l'émissivité d'un corps est égale à son coefficient d'absorption. Sinon, un corps placé dans une cavité à la même température que lui absorberait plus qu'il n'émet, ou l'inverse, et s'échaufferait ou se refroidirait spontanément, en contradiction avec le second principe.

3.2. Le spectre du corps noir

L'énergie du rayonnement se répartit sur toutes les longueurs d'onde, selon une loi établie par Planck en 1900. Nous n'aurons besoin que de deux de ses conséquences. La première est la loi en $T^4$, que nous avons démontrée. La seconde est la loi du déplacement de Wien, qui donne la longueur d'onde à laquelle l'émission est la plus intense :

Plus un corps est chaud, plus son émission se déplace vers les courtes longueurs d'onde. Le Soleil, dont la surface est à environ $5800$ K, émet principalement autour de $0{,}5\ \mu\mathrm m$, dans le visible, ce qui n'est évidemment pas un hasard : nos yeux se sont adaptés à la lumière disponible. Un corps à température ambiante, vers $300$ K, émet surtout autour de $10\ \mu\mathrm m$, dans l'infrarouge thermique. Cette séparation entre le rayonnement solaire et le rayonnement terrestre est à l'origine de l'effet de serre, comme nous le verrons.

4. Échanges radiatifs et équilibre

4.1. Le flux radiatif net

Un objet de température $T$, de surface $A$ et d'émissivité $\varepsilon$, placé dans une grande enceinte dont les parois sont à la température $T_{\rm env}$, émet et reçoit du rayonnement en même temps. Il émet la puissance $\varepsilon\sigma AT^4$. Il reçoit le rayonnement de l'enceinte, qui est un rayonnement d'équilibre à $T_{\rm env}$, et en absorbe la fraction $\varepsilon$ d'après la loi de Kirchhoff. La puissance nette qu'il perd par rayonnement vaut donc

Cette expression donne le sens de l'échange, en accord avec le second principe : si $T>T_{\rm env}$, l'objet perd de l'énergie ; si $T<T_{\rm env}$, il en gagne. Si $T=T_{\rm env}$, le flux net est nul, bien que l'objet et les parois continuent d'émettre et d'absorber du rayonnement. L'équilibre radiatif est un équilibre dynamique : les échanges ne s'arrêtent pas, ils se compensent exactement (figure 1).

4.2. Le rayonnement du corps humain

Notre corps rayonne en permanence dans l'infrarouge, ce que les caméras thermiques permettent de visualiser (figure 2). Le détecteur mesure un flux infrarouge dans une certaine bande de longueurs d'onde, et un logiciel le convertit en température apparente, représentée en fausses couleurs. Cette conversion suppose une émissivité donnée : une surface métallique brillante, qui émet peu et réfléchit beaucoup, peut ainsi renvoyer le rayonnement d'un objet voisin et fausser complètement la mesure.

L'image est reproduite d'après la NASA ^[3], conformément à ses conditions de réutilisation ^[4].

Estimons la puissance rayonnée par une personne dévêtue, de surface $A\approx1{,}8\ \mathrm{m^2}$, dont la peau est à $33\ ^{\circ}\mathrm{C}$, soit $306$ K, avec une émissivité voisine de $1$. Sa puissance émise vaut

C'est énorme, bien plus que les $100$ W que nous produisons en moyenne (leçon 8) ! Mais dans une pièce dont les murs sont à $20\ ^{\circ}\mathrm{C}$, nous recevons aussi le rayonnement des murs, et c'est le bilan net qui compte. Pour éviter de calculer la différence de deux grands nombres presque égaux, factorisons exactement :

Lorsque l'écart de température est petit devant la température moyenne $T_m$, cette expression vaut approximativement $4T_m^3(T_{\rm peau}-T_{\rm env})$, et le flux net devient proportionnel à l'écart de température :

Avec $T_m\approx300$ K, on trouve $4\sigma T_m^3\approx6\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$, et un flux net d'environ $6\times1{,}8\times13\approx140$ W. Une partie de la surface du corps, entre les bras et le tronc par exemple, rayonne vers elle-même, ce qui réduit un peu cette valeur. Le rayonnement est donc l'un des principaux modes de perte de chaleur du corps humain, avec la convection, l'évaporation de la sueur et la respiration. C'est pourquoi on a froid dans une pièce aux murs froids, même si l'air y est à bonne température.

5. L'équilibre radiatif de la Terre

5.1. Le modèle sans atmosphère

La Terre reçoit son énergie du Soleil par rayonnement, et ne peut la perdre que par rayonnement, vers l'espace. Sa température moyenne résulte donc d'un équilibre radiatif. Notons $S_0\approx1361\ \mathrm{W\,m^{-2}}$ la puissance solaire reçue, à la distance de la Terre, par une surface perpendiculaire aux rayons. La Terre intercepte le rayonnement solaire sur un disque de surface $\pi R^2$, son ombre. Elle en réfléchit directement une fraction $\alpha\approx0{,}30$, appelée albédo, principalement sur les nuages, la glace et les déserts. La puissance absorbée vaut donc

La Terre émet en revanche par toute sa surface $4\pi R^2$, la rotation répartissant la chaleur entre le jour et la nuit. Dans le modèle le plus simple, elle émet comme un corps noir de température uniforme $T_e$ :

À l'équilibre, $P_{\rm abs}=P_{\rm emis}$, et le rayon de la Terre se simplifie :

Numériquement, on trouve $T_e\approx255$ K, soit $-18\ ^{\circ}\mathrm{C}$. C'est nettement moins que la température moyenne observée à la surface du globe, environ $288$ K, soit $15\ ^{\circ}\mathrm{C}$ ^[1]. Le modèle a-t-il échoué ? Pas tout à fait : $T_e$ est la température à laquelle la Terre rayonne vers l'espace, telle qu'on la verrait depuis un satellite. L'écart de $33$ K avec la température du sol est dû à l'atmosphère.

5.2. L'effet de serre

L'atmosphère est presque transparente au rayonnement solaire, principalement visible. Elle est en revanche en grande partie opaque au rayonnement infrarouge émis par le sol, que la vapeur d'eau, le dioxyde de carbone, le méthane et les nuages absorbent. Chauffée par ce rayonnement, l'atmosphère rayonne à son tour, vers l'espace mais aussi vers le sol. Le sol reçoit donc à la fois le rayonnement solaire et le rayonnement infrarouge de l'atmosphère, et sa température d'équilibre est plus élevée que $T_e$ : c'est l'effet de serre naturel, sans lequel la Terre serait gelée.

On peut le comprendre autrement. Le rayonnement qui s'échappe vers l'espace est émis, en moyenne, non pas par le sol, mais par les couches de l'atmosphère situées à quelques kilomètres d'altitude, là où elle devient assez peu dense pour le laisser passer. C'est à ces couches que correspond la température $T_e\approx255$ K. Or la température de l'atmosphère diminue avec l'altitude, d'environ $6{,}5$ K par kilomètre ; le sol, situé plus bas, est donc plus chaud.

Si la concentration en dioxyde de carbone augmente, l'atmosphère devient plus opaque dans certaines bandes infrarouges, et le rayonnement vers l'espace est émis depuis des couches plus élevées, donc plus froides. À température inchangée, la Terre émettrait alors moins qu'elle n'absorbe : son bilan devient excédentaire, et elle accumule de l'énergie, très majoritairement dans les océans, comme nous l'avons vu à la leçon 8. La surface et la basse atmosphère se réchauffent jusqu'à ce que l'émission vers l'espace compense de nouveau la puissance solaire absorbée ^[1].

Les nuages ont deux effets opposés. Ils réfléchissent une partie du rayonnement solaire, ce qui tend à refroidir la planète ; mais ils absorbent aussi l'infrarouge terrestre et le réémettent depuis leur sommet, plus froid, ce qui tend à la réchauffer. Les nuages bas et épais ont surtout un effet refroidissant, tandis que les nuages hauts et froids ont plutôt un effet réchauffant ^[2]. Le bilan net dépend du type de nuage, et reste l'une des principales incertitudes des modèles de climat.

Enfin, l'équilibre climatique n'est jamais strictement atteint. Les océans stockent de l'énergie, l'évaporation et la convection en transportent, les courants en redistribuent entre l'équateur et les pôles. L'égalité des puissances reçue et émise n'est vraie qu'en moyenne sur toute la planète et sur des durées suffisamment longues.

6. Refroidir un satellite

Dans le vide spatial, il n'y a ni conduction ni convection vers l'extérieur : un satellite ne peut évacuer la chaleur produite par son électronique que par rayonnement. On pourrait croire que le froid de l'espace rend la chose facile. Ce n'est pas le cas : c'est le rayonnement émis par le satellite lui-même qui limite l'évacuation de la chaleur, et il faut de grands radiateurs pour l'assurer.

Considérons un centre de données en orbite, qui dissipe une puissance $P$ et l'évacue par des radiateurs de surface totale $A$, à la température $T_r$. Le fond du ciel est à moins de $3$ K, et le rayonnement qu'il renvoie est négligeable. Si les radiateurs ne voient ni le Soleil ni la Terre, l'équilibre impose

Pour une puissance d'un mégawatt, une émissivité de $0{,}9$ et des radiateurs à $300$ K, température imposée par l'électronique, on trouve une surface rayonnante d'environ $2400\ \mathrm{m^2}$, soit trois terrains de handball. La forte dépendance en $T_r^4$ montre l'intérêt de faire fonctionner les radiateurs aussi chauds que possible : à $400$ K, la surface serait trois fois plus petite.

Des études européennes ont examiné la faisabilité de tels centres de données en orbite, alimentés par l'énergie solaire ^[5]. L'énergie électrique y est abondante, mais le refroidissement exige de très grandes surfaces rayonnantes, auxquelles s'ajoutent des contraintes de masse, de lancement, de maintenance et de communication.

7. Bilan

Le rayonnement d'équilibre est un système thermodynamique à part entière. Avec la seule équation d'état $P=u/3$, la relation fondamentale impose que son énergie croisse comme $T^4$, que son entropie soit $\frac43aT^3V$ et que le potentiel chimique des photons soit nul. La loi de Stefan-Boltzmann qui en découle, complétée par l'émissivité et la loi de Kirchhoff, permet d'écrire le bilan radiatif de n'importe quel corps.

8. Références