Exercice corrigé de thermodynamique

Turbine à gaz en cycle ouvert

Exercice 60 · Leçon 11 — Machines thermiques et frigidaires

  • Brayton
  • turbine à gaz
  • cycle ouvert
  • compresseur
  • rendement isentropique

Énoncé

De l'air entre à la température T1T_1 dans le compresseur d'une turbine à gaz. Le rapport de pression vaut rp=P2/P1=P3/P4r_p=P_2/P_1=P_3/P_4, et la température à l'entrée de la turbine vaut T3T_3. L'air est assimilé à un gaz parfait de cPc_P et de rapport γ\gamma constants. On étudie d'abord le cycle idéal : le compresseur et la turbine sont adiabatiques et réversibles.

  1. En posant k=(γ−1)/γk=(\gamma-1)/\gamma, exprimer T2T_2 et T4T_4 en fonction de T1T_1, T3T_3 et rpr_p.
  2. Exprimer les travaux du compresseur et de la turbine, la chaleur reçue dans la chambre de combustion, puis le rendement thermique.
  3. Montrer que le rendement idéal se réduit à η=1−rp−k\eta=1-r_p^{-k}.
  4. Donner les expressions de T2T_2 et T4T_4 lorsque les rendements isentropiques du compresseur et de la turbine valent ηc\eta_c et ηt\eta_t.
  5. Expliquer pourquoi la machine réelle est ouverte alors que sa représentation idéalisée porte le nom de cycle de Brayton.

Indication
Utiliser la relation isentropique T2/T1=(P2/P1)kT_2/T_1=(P_2/P_1)^k. Pour simplifier le rendement, poser a=rpka=r_p^k.

Solution détaillée

Solution
1. Une compression isentropique de P1P_1 à P2P_2 donne

T2T1=(P2P1)k=rpk,\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^k=r_p^k,

donc T2=T1rpk\boxed{T_2=T_1r_p^k}. Pour la détente, P3/P4=rpP_3/P_4=r_p, d'où

T4T3=(P4P3)k=rp−k,\frac{T_4}{T_3}=\left(\frac{P_4}{P_3}\right)^k=r_p^{-k},

et T4=T3rp−k\boxed{T_4=T_3r_p^{-k}}.

2. Le compresseur reçoit

wc=cP(T2−T1),w_c=c_P(T_2-T_1),

et la turbine fournit

wt=cP(T3−T4).w_t=c_P(T_3-T_4).

La combustion est modélisée par un apport de chaleur à pression constante :

qin=cP(T3−T2).q_{\rm in}=c_P(T_3-T_2).

Le travail net fourni est wnet=wt−wcw_{\rm net}=w_t-w_c, et le rendement vaut

η=wt−wcqin=(T3−T4)−(T2−T1)T3−T2.\eta=\frac{w_t-w_c}{q_{\rm in}} =\frac{(T_3-T_4)-(T_2-T_1)}{T_3-T_2}.

3. Posons a=rpka=r_p^k. Les relations de la question 1 donnent T2=aT1T_2=aT_1 et T4=T3/aT_4=T_3/a. Le numérateur du rendement devient

(T3−T4)−(T2−T1)=T3(1−1a)−T1(a−1).(T_3-T_4)-(T_2-T_1) =T_3\left(1-\frac1a\right)-T_1(a-1).

Or a−1=a(1−1/a)a-1=a(1-1/a), donc

wnet/cP=(1−1a)(T3−aT1)=(1−1a)(T3−T2).w_{\rm net}/c_P =\left(1-\frac1a\right)(T_3-aT_1) =\left(1-\frac1a\right)(T_3-T_2).

En divisant par qin=cP(T3−T2)q_{\rm in}=c_P(T_3-T_2), on obtient

η=1−1a=1−rp−k.\boxed{\eta=1-\frac1a=1-r_p^{-k}}.

4. Notons T2s=T1rpkT_{2s}=T_1r_p^k et T4s=T3rp−kT_{4s}=T_3r_p^{-k}. Par définition,

ηc=T2s−T1T2−T1,\eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1},

d'où

T2=T1+T2s−T1ηc.\boxed{T_2=T_1+\frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}}.

Pour la turbine,

ηt=T3−T4T3−T4s,\eta_t=\frac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}},

donc

T4=T3−ηt(T3−T4s).\boxed{T_4=T_3-\eta_t(T_3-T_{4s})}.

Comme ηc<1\eta_c<1 augmente T2T_2 et ηt<1\eta_t<1 augmente T4T_4, les irréversibilités réduisent le travail net et le rendement.

5. La machine aspire continuellement de l'air et rejette les gaz de combustion, de sorte que la matière ne revient pas à son état initial. Pour former un cycle, le modèle remplace la combustion et l'échappement par des échanges de chaleur fictifs qui referment le trajet d'une même masse d'air.