Exercice corrigé de thermodynamique

La loi de Wien du Soleil au corps humain

Exercice 62 · Leçon 12 — Thermodynamique du rayonnement

  • corps noir
  • loi de Wien
  • loi de Stefan-Boltzmann
  • Soleil
  • infrarouge

Énoncé

La longueur d'onde du maximum de la luminance spectrale d'un corps noir vérifie λmax⁡T=b\lambda_{\max}T=b, avec b=2,898×10−3 m Kb=2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m\,K}. Sa puissance émise par unité de surface vaut M=σT4M=\sigma T^4, avec σ=5,670×10−8 W m−2 K−4\sigma=5{,}670\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

  1. Pour deux corps noirs de températures T1T_1 et T2T_2, établir les rapports λmax⁡,1/λmax⁡,2\lambda_{\max,1}/\lambda_{\max,2} et M1/M2M_1/M_2.
  2. Effectuer l'application numérique pour le Soleil, à 5772 K5772\,\mathrm K, et un corps humain à 310 K310\,\mathrm K. Calculer leurs longueurs d'onde au maximum et situer celles-ci dans le spectre.
  3. Calculer ensuite leurs puissances surfaciques MM.
  4. Expliquer pourquoi la puissance σT4\sigma T^4 du corps humain diffère de sa perte radiative nette dans une pièce.

Indication
1 μm=10−6 m1\,\mu\mathrm m=10^{-6}\,\mathrm m. Une pièce rayonne elle aussi vers le corps.

Solution détaillée

Solution
1. La loi de Wien donne

λmax⁡,1=bT1,λmax⁡,2=bT2.\lambda_{\max,1}=\frac b{T_1}, \qquad \lambda_{\max,2}=\frac b{T_2}.

En divisant membre à membre,

λmax⁡,1λmax⁡,2=T2T1.\boxed{\frac{\lambda_{\max,1}}{\lambda_{\max,2}} =\frac{T_2}{T_1}}.

De même, la loi de Stefan-Boltzmann donne

M1M2=(T1T2)4.\boxed{\frac{M_1}{M_2}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4}.

Un corps plus chaud émet donc avec un maximum à plus courte longueur d'onde et une puissance surfacique beaucoup plus grande.

2. Pour le Soleil,

λmax⁡,⊙=2,898×10−35772=5,02×10−7 m=502 nm.\lambda_{\max,\odot} =\frac{2{,}898\times10^{-3}}{5772} =5{,}02\times10^{-7}\,\mathrm m=502\,\mathrm{nm}.

Cette longueur d'onde se situe dans le visible, près du vert. Pour le corps humain,

λmax⁡,h=2,898×10−3310=9,35×10−6 m=9,35 μm.\lambda_{\max,h} =\frac{2{,}898\times10^{-3}}{310} =9{,}35\times10^{-6}\,\mathrm m=9{,}35\,\mu\mathrm m.

Le rayonnement thermique du corps humain est principalement infrarouge.

3. Pour le Soleil,

M⊙=σT4=5,670×10−8×57724≃6,29×107 W m−2.M_\odot=\sigma T^4 =5{,}670\times10^{-8}\times5772^4 \simeq6{,}29\times10^7\,\mathrm{W\,m^{-2}}.

Pour le corps humain,

Mh=5,670×10−8×3104≃524 W m−2.M_h=5{,}670\times10^{-8}\times310^4 \simeq524\,\mathrm{W\,m^{-2}}.

4. Le corps émet vers les parois et reçoit simultanément leur rayonnement. La perte nette dépend donc de la différence des quatrièmes puissances ainsi que de l'émissivité. Pour une grande enceinte à température T0T_0, Pnet=εσA(T4−T04)P_{\rm net}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_0^4).