Exercice corrigé de thermodynamique

Dimensionner le radiateur d'un datacenter spatial

Exercice 66 · Leçon 12 — Thermodynamique du rayonnement

radiateur spatial
Stefan-Boltzmann
bilan thermique
surface
température

Énoncé

Un équipement informatique en orbite dissipe en permanence une puissance électrique $P=1{,}0\,\mathrm{MW}$ . Cette puissance est conduite vers un radiateur d'émissivité $\varepsilon=0{,}85$ . Dans un premier modèle, le radiateur ne voit qu'un environnement radiatif très froid et sa température maximale admissible est $T_r=320\,\mathrm K$ .

Expliquer pourquoi le vide spatial n'assure aucun refroidissement par convection.
Établir la surface minimale $A=\frac{P}{\varepsilon\sigma T_r^4}.$
Calculer cette surface et donner le côté d'un carré de même aire.
Sans refaire d'application numérique, établir comment la surface varie avec la température maximale $T_r$ . Commenter l'intérêt et la limite d'une température plus élevée.
Si le radiateur voit une grande enceinte à une température non nulle $T_0$ , établir la nouvelle surface nécessaire et la comparer littéralement à la surface obtenue dans un environnement à température nulle.

Indication

Toute la puissance électrique finit sous forme de chaleur. Le bilan stationnaire impose que la puissance rayonnée nette lui soit égale.

Solution détaillée

Solution

1. La convection transporte de l'énergie grâce au mouvement d'un fluide. Dans le vide, il n'y a presque pas de matière pour emporter cette énergie. Il faut conduire la chaleur jusqu'à une surface, puis la rayonner. 2. Le radiateur émet

P_{\rm rad}=\varepsilon\sigma AT_r^4.

À l'état stationnaire, son énergie interne ne varie plus et $P=P_{\rm rad}$ . On isole donc

A=\frac{P}{\varepsilon\sigma T_r^4}.

A=\frac{1{,}0\times10^6} {0{,}85\times5{,}670\times10^{-8}\times320^4} \simeq1{,}98\times10^3\,\mathrm{m^2}.

Un carré de même aire aurait pour côté $\sqrt A\simeq44{,}5\,\mathrm m$ . Même pour un mégawatt seulement, la surface est considérable.

4. Comme

A\propto T_r^{-4}

, deux températures admissibles

T_a

T_b

conduisent au rapport

\boxed{\frac{A_b}{A_a}=\left(\frac{T_a}{T_b}\right)^4}.

Élever la température réduit fortement la surface au prix de contraintes plus sévères sur l'électronique, les matériaux et le fluide caloporteur, qui imposent ensemble une valeur maximale.

5. L'environnement rayonne lui aussi vers le radiateur. La puissance nette quittant celui-ci vaut

P=\varepsilon\sigma A(T_r^4-T_0^4).

On en déduit

\boxed{A(T_0)=\frac{P} {\varepsilon\sigma(T_r^4-T_0^4)}}.

Si $A(0)=P/(\varepsilon\sigma T_r^4)$ désigne la surface face à un environnement froid, alors

\frac{A(T_0)}{A(0)} =\frac{T_r^4}{T_r^4-T_0^4} =\frac{1}{1-(T_0/T_r)^4}>1.

Voir un objet chaud augmente donc toujours la surface requise. L'orientation du radiateur fait partie du problème thermique.