Exercice corrigé de thermodynamique

Émission brute et échange radiatif net

Exercice 63 · Leçon 12 — Thermodynamique du rayonnement

rayonnement net
émissivité
Stefan-Boltzmann
coefficient radiatif
linéarisation

Énoncé

Une surface grise d'aire $A$ , d'émissivité $\varepsilon$ et de température $T$ est entourée d'une grande enceinte noire à la température $T_0$ . On néglige la convection et les autres modes de transfert.

Exprimer la puissance radiative émise par la surface.
Exprimer la puissance reçue de l'enceinte, puis la puissance nette quitte la surface.
Factoriser $T^4-T_0^4$ et écrire $P_{\rm net}=h_{\rm rad}A(T-T_0)$ . Établir $h_{\rm rad}$ .
Pour $T=T_0+\Delta T$ avec $|\Delta T|\ll T_0$ , retrouver $h_{\rm rad}\simeq4\varepsilon\sigma T_0^3$ et discuter le signe de $P_{\rm net}$ .

Indication

T^4-T_0^4=(T-T_0)(T+T_0)(T^2+T_0^2)

Solution détaillée

Solution

1. La loi de Stefan-Boltzmann donne le flux émis

\varepsilon\sigma T^4

. En le multipliant par l'aire,

P_{\rm em}=\varepsilon\sigma AT^4

2. L'enceinte fournit à la surface le flux incident $\sigma T_0^4$ . Une surface grise en absorbe la fraction $\varepsilon$ , donc

P_{\rm rec}=\varepsilon\sigma AT_0^4.

En comptant positivement la puissance qui quitte la surface,

\boxed{P_{\rm net}=P_{\rm em}-P_{\rm rec} =\varepsilon\sigma A(T^4-T_0^4)}.

3. En factorisant,

h_{\rm rad}=\varepsilon\sigma(T+T_0)(T^2+T_0^2),

car

T^4-T_0^4=(T-T_0)(T+T_0)(T^2+T_0^2).

Cette écriture est exacte : le coefficient dépend encore des deux températures.

4. Si

T=T_0+\Delta T

avec

|\Delta T|\ll T_0

, alors

T+T_0\simeq2T_0

T^2+T_0^2\simeq2T_0^2

. Par conséquent,

h_{\rm rad}\simeq\varepsilon\sigma(2T_0)(2T_0^2) =\boxed{4\varepsilon\sigma T_0^3}.

Comme $h_{\rm rad}>0$ , le signe de $P_{\rm net}$ est celui de $T-T_0$ . La surface perd de l'énergie si elle est plus chaude que l'enceinte et en reçoit si elle est plus froide.