Exercice corrigé de thermodynamique

Terre sans atmosphère et atmosphère à une couche

Exercice 65 · Leçon 12 — Thermodynamique du rayonnement

  • équilibre radiatif
  • Terre
  • albédo
  • effet de serre
  • atmosphère
  • température effective

Énoncé

La Terre reçoit une irradiance solaire I⊙=1361 W m−2I_\odot=1361\,\mathrm{W\,m^{-2}} et son albédo de Bond vaut A=0,294A=0{,}294. On suppose d'abord la planète isotherme et sans atmosphère. Dans un second modèle, une couche atmosphérique laisse passer le rayonnement solaire et absorbe parfaitement l'infrarouge, qu'elle réémet vers le haut et vers le bas.

  1. Justifier le facteur géométrique 1/41/4 entre la puissance solaire interceptée et la surface terrestre totale.
  2. Établir littéralement la température effective TeT_e sans atmosphère, puis effectuer l'application numérique.
  3. Dans le modèle à une couche, écrire séparément le bilan de l'atmosphère et celui de la surface.
  4. Montrer que Ta=TeT_a=T_e et Ts=21/4TeT_s=2^{1/4}T_e, puis calculer TsT_s.
  5. Expliquer les limites de ce modèle lorsqu'on cherche à prévoir la température moyenne réelle.

Indication
La Terre intercepte le rayonnement solaire sur un disque πR2\pi R^2 et émet sur une sphère 4πR24\pi R^2. L'atmosphère émet σTa4\sigma T_a^4 vers chacun de ses deux côtés.

Solution détaillée

Solution
1. La puissance solaire absorbée est (1−A)I⊙πR2(1-A)I_\odot\pi R^2. Répartie sur la surface 4πR24\pi R^2, elle correspond au flux moyen

F⊙=(1−A)I⊙4.F_\odot=\frac{(1-A)I_\odot}{4}.

2. Sans atmosphère, le bilan stationnaire impose que le flux solaire moyen absorbé soit égal au flux infrarouge émis :

(1−A)I⊙4=σTe4.\frac{(1-A)I_\odot}{4}=\sigma T_e^4.

On isole d'abord la température :

Te=((1−A)I⊙4σ)1/4.\boxed{T_e=\left(\frac{(1-A)I_\odot}{4\sigma}\right)^{1/4}}.

Pour l'application numérique,

F⊙=(1−0,294)13614≃240 W m−2.F_\odot=\frac{(1-0{,}294)1361}{4} \simeq240\,\mathrm{W\,m^{-2}}.

Le bilan F⊙=σTe4F_\odot=\sigma T_e^4 donne

Te=(2405,670×10−8)1/4≃255 K.T_e=\left(\frac{240}{5{,}670\times10^{-8}}\right)^{1/4} \simeq255\,\mathrm K.

3. L'atmosphère absorbe la puissance infrarouge σTs4\sigma T_s^4 émise par unité de surface. Elle émet σTa4\sigma T_a^4 vers le haut et la même quantité vers le bas. Son bilan est

σTs4=2σTa4.\sigma T_s^4=2\sigma T_a^4.

La surface reçoit le flux solaire F⊙F_\odot et le rayonnement descendant de l'atmosphère, puis émet son propre rayonnement. Son bilan est

F⊙+σTa4=σTs4.F_\odot+\sigma T_a^4=\sigma T_s^4.

4. La première équation donne Ts4=2Ta4T_s^4=2T_a^4. En la reportant sans approximation dans la seconde,

F⊙+σTa4=2σTa4,F_\odot+\sigma T_a^4=2\sigma T_a^4,

donc F⊙=σTa4F_\odot=\sigma T_a^4 et Ta=TeT_a=T_e. Ainsi

Ts=21/4Te≃1,189×255≃303 K.T_s=2^{1/4}T_e\simeq1{,}189\times255\simeq303\,\mathrm K.

5. Une atmosphère réelle n'est ni une couche unique ni un corps noir infrarouge parfait. Elle possède des fenêtres spectrales, des nuages, des gradients de température, de la convection et des changements de phase. Le modèle décrit un mécanisme et fournit un ordre de grandeur, ce qui reste insuffisant pour simuler le climat.