Exercice corrigé de thermodynamique

Température d'un panneau de satellite

Exercice 64 · Leçon 12 — Thermodynamique du rayonnement

  • satellite
  • bilan radiatif
  • absorptivité
  • émissivité
  • orientation
  • équilibre thermique

Énoncé

Un panneau de satellite d'aire AA reçoit une irradiance solaire II. Son absorptivité solaire vaut αs\alpha_s et son émissivité infrarouge ε\varepsilon. Sa normale fait un angle θ\theta avec les rayons solaires. Le panneau est isotherme et l'espace environnant est assimilé à un milieu à température nulle. Il rayonne par NN faces identiques, avec N=1N=1 ou N=2N=2.

  1. Exprimer la puissance solaire absorbée et la puissance infrarouge émise.
  2. Établir la température d'équilibre en fonction de αs\alpha_s, II, θ\theta, NN, ε\varepsilon et σ\sigma.
  3. Comparer les températures d'un panneau qui rayonne par une face puis par deux faces, toutes choses égales par ailleurs.
  4. Étudier littéralement l'effet de l'orientation. Que devient la température radiative du modèle lorsque θ\theta tend vers 90∘90^\circ ?

Indication
La puissance solaire interceptée est proportionnelle à l'aire projetée Acos⁡θA\cos\theta, puis l'aire AA se simplifie dans le bilan.

Solution détaillée

Solution
1. L'aire projetée perpendiculairement aux rayons vaut Acos⁡θA\cos\theta. La puissance solaire absorbée est donc

Pabs=αsIAcos⁡θ.P_{\rm abs}=\alpha_sIA\cos\theta.

Chaque face rayonne εσAT4\varepsilon\sigma AT^4. Pour NN faces,

Pem=NεσAT4.P_{\rm em}=N\varepsilon\sigma AT^4.

2. À l'équilibre stationnaire, Pabs=PemP_{\rm abs}=P_{\rm em} :

αsIAcos⁡θ=NεσAT4.\alpha_sIA\cos\theta=N\varepsilon\sigma AT^4.

L'aire se simplifie. En isolant T4T^4, puis en prenant la racine quatrième,

T=(αsIcos⁡θNεσ)1/4.\boxed{T=\left(\frac{\alpha_sI\cos\theta} {N\varepsilon\sigma}\right)^{1/4}}.

3. Notons T1T_1 la température pour N=1N=1 et T2T_2 celle pour N=2N=2. La formule précédente donne

T1T2=(21)1/4=21/4.\frac{T_1}{T_2} =\left(\frac{2}{1}\right)^{1/4}=2^{1/4}.

Lorsque l'aire rayonnante est divisée par deux, la température est multipliée par 21/42^{1/4} en raison de la dépendance en T4T^4.

4. À NN, II, αs\alpha_s et ε\varepsilon fixés,

T(θ)T(0)=(cos⁡θ)1/4.\frac{T(\theta)}{T(0)}=(\cos\theta)^{1/4}.

Incliner le panneau réduit donc sa température d'équilibre. Dans le modèle limite, θ→90∘\theta\to90^\circ implique cos⁡θ→0\cos\theta\to0 et donc T→0T\to0. Cette limite irréaliste rappelle que le modèle néglige le rayonnement de la Terre, les dissipations internes et les autres surfaces du satellite.