熱力学の解答付き演習

石けん膜を広げるのに必要な仕事

演習 13 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

表面張力
一般化された仕事
界面
石けん膜

問題

平らな石けん膜が長方形の枠に張られており、枠の一辺をなす長さ $ℓ$ の棒は摩擦なく滑ることができる。この棒と枠の対辺との距離 $x$ が $x_{A}$ から $x_{B}$ まで増加する。膜には空気と液体の界面が二つあり、それぞれの表面張力 $γ$ は一定とする。端の効果、重さ、圧力による仕事は無視する。液体の体積は一定で、液体の出入りはない。変位は十分にゆっくりで、力学的平衡が保たれる。界面の生成について、受け取る仕事は $δ W = γ d A$ と書ける。ここで $A$ は界面の全面積である。

枠と棒を図示し、 $x$ 、 $ℓ$ 、外部からの引張りの向きを示せ。 $A (x)$ を表し、次に $d A$ を表せ。
必要な外力を求め、 $x$ が $x_{A}$ から $x_{B}$ に変わるときに受け取る仕事を計算せよ。
$γ = 30 mN m^{- 1}$ 、 $ℓ = 5, 0 cm$ 、 $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ のとき、この力と仕事を計算せよ。片面を数え忘れると、どのような誤りが生じるか。
膜はサーモスタットによって一定温度に保たれる。 $γ$ と面積変化を知るだけで、 $Δ U$ と $Q$ を決定できるか。

ヒント

各面の面積は

ℓ x

である。仕事

F_{ext} d x

を、二つの界面を生成する仕事と等しいとおく。最後の問では、受け取る仕事と蓄えられるエネルギーを区別せよ。

詳しい解答

解答

問1。膜の面内に枠を描き、可動棒を

x

方向に垂直に、外部からの引張りを

x

の増加する向きに描く。各面の面積は

ℓ x

である。

ℓ

は一定なので、全面積とその変化は

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x

となる。正面から見た図では重なって見えても、二つの界面は別々のものである。

問2。受け取る仕事は二通りに書ける：

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

比較すると $F_{ext} = 2 γ ℓ$ が得られる。膜の力はこの引張りに逆らう。 $γ$ と $ℓ$ は一定なので、

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

膜の面積を増やすには、仕事を与える必要がある。

問3。 SI単位では

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

、

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

、

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

である。よって

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

単位は整合している。 $γ ℓ$ は力であり、 $γ Δ A$ はエネルギーである。片面を数え忘れると、力と仕事を誤って半分にしてしまう。

問4。第一法則が課すのは

Δ U = Q + γ Δ A

だけである。サーモスタットは温度を保つために熱を供給することも受け取ることもできる。膜の内部エネルギーのモデルがなければ、 $Δ U$ も $Q$ も分からない。したがって、 $γ Δ A$ を自動的に内部エネルギー変化とみなすことも、等温であることから $Q = 0$ を導くこともできない。