熱力学の解答付き演習

並進、回転、熱運動

演習 14 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

ケーニヒの定理
回転
運動エネルギー
内部エネルギー
摩擦

問題

質量 $m_{i}$ の $N$ 個の粒子からなる系があり、全質量は $M$ 、重心の位置は $R$ 、速度は $V$ である。 $ρ_{i} = r_{i} - R$ とおき、速度を次のように分解する：

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

全体の角速度 $ω$ は、残りの運動が全体としての角運動量をもたないように選ぶ：

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

恒等式 $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ を認める。ここで $I_{CM}$ は重心のまわりの慣性テンソルである。

$E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ を展開し、三つの交差項がゼロであることを示せ。これより、並進、全体の回転、残りの運動への分解を導け。
全体の並進と回転を巨視的運動として数える規約のもとで、内部エネルギーに含まれる運動エネルギーはどれか。熱運動だけを残すには、重心系に移れば十分か。
質量 $M$ 、半径 $R$ の一様な円板が、固定された軸のまわりを初め角速度 $ω_{0}$ で回転している。その慣性モーメントは $I = M R^{2} /2$ である。ブレーキがこれを停止させる。円板とブレーキからなる系は断熱されており、静止した支持体は仕事を一切与えない。散逸したエネルギーはすべて、一定の全熱容量 $C$ をもつこの系の中にとどまる。系の内部エネルギー変化と温度上昇を求めよ。
$M = 2, 0 kg$ 、 $R = 0, 10 m$ 、 $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ 、 $C = 500 J K^{- 1}$ のとき、変換されたエネルギーと温度上昇を計算せよ。このエネルギーは熱として系の境界を横切ったのか。

ヒント

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

とスカラー三重積の恒等式

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

を用いる。制動の間は

U + E_{kin}^{macro}

が保存される。

詳しい解答

解答

問1。重心の定義より

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

である。したがって

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

各二乗を展開すると

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

第一の交差項は重心の定義によって消える。第二の交差項は、残りの運動の運動量がゼロであるため消える。第三の交差項については、スカラー三重積により

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

慣性テンソルについて与えられた恒等式を用いると、残るのは

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

問2。この規約では、内部エネルギーへの運動エネルギーの寄与は最後の項 $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ である。内部エネルギーには、内部の位置エネルギーや、存在すればその他の内部自由度も含まれる。重心系に移ると並進の項は消えるが、全体の回転の項は残る。したがって、固定軸のまわりを回転する円板は、重心が静止していても巨視的な運動エネルギーをもつ。

問3。円板とブレーキからなる系の境界を横切る熱と仕事はゼロである。支持体からの力は角運動量を伝えうるが、その作用点は静止しているので仕事を伝えない。その他の巨視的エネルギーの変化を無視すると、エネルギー保存より

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

円板は停止するので、 $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ である。したがって

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

内部の熱平衡に達した後は、熱容量一定のモデルにより $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ となるから、

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

摩擦は、秩序だった運動のエネルギーを系内部で内部エネルギーに変換する。

問4。慣性モーメントは

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

である。よって

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

$Q = 0$ であるにもかかわらず系は温まる。このエネルギーは熱として境界を横切ったのではない。初めから回転の運動エネルギーとして系の中に存在していたのである。