熱力学の解答付き演習

弾性ひもを引き伸ばす

演習 12 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

一般化された仕事
弾性ひも
引張り
熱力学第一法則

問題

自然長 $L_{0}$ のひもを、ヒステリシスなしにゆっくりと $L_{A}$ から $L_{B}$ まで引き伸ばす。ただし $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ である。考える範囲では、ひもの平衡張力は

F = K (L - L_{0})

に従う。ここで $K > 0$ は温度によらない一定のばね定数である。各段階で、外部からの引張り力はひもの張力とつり合っている。内部エネルギーのモデルとして

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆}

を採用する。 $C$ は一定の全熱容量、 $T_{⋆}$ 、 $U_{⋆}$ は固定された基準値である。運動エネルギーと重力位置エネルギーの変化は無視できる。

ひも、その固定点、可動端、外部からの引張り力を図示せよ。変化 $d L$ に対して受け取る微小仕事を書き、 $W_{A \to B}$ を計算せよ。
引き伸ばしは等温で行われる。このモデルにおける $Δ U$ と受け取る熱 $Q_{A \to B}$ を計算せよ。一般に、等温過程では必ず $Δ U = 0$ となるか。
同じ引張りの法則に従って、ひもを $L_{B}$ から $L_{A}$ に戻す。この戻りの過程と往復全体で受け取る仕事を計算せよ。この結果が、あらゆる仕事が状態関数であることを意味しないのはなぜか。

ヒント

δ W = F_{ext} d L

を用い、変化する力を積分する。次に、

Δ U = Q + W

を用いて、モデルが与える内部エネルギー差と比較する。

詳しい解答

解答

問1。図では左端を固定する。右端には右向きの引張り力がはたらき、その変位は

d L

である。ひもが伸びるとき、ひもが受け取る仕事は正である：

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

力は一定ではない。したがって次を計算しなければならない：

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

ばね定数の単位は $N m^{- 1}$ なので、 $K (L - L_{0})^{2}$ の単位は $N m$ 、すなわちジュールである。

問2。

T_{B} = T_{A}

なので、熱的な項は変化しない。基準定数も打ち消し合うので、

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

第一法則より $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ となる。この理想的なモデルでは、受け取った仕事は弾性エネルギーとして蓄えられる。温度は一定だが内部エネルギーは増加する。したがって、等温であることは $Δ U = 0$ を意味しない。ここでの結果 $Q = 0$ は採用したモデルによるものであり、あらゆる材料に当てはまるわけではない。

問3。積分の上下端を入れ替えると、積分の符号が変わる：

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

よって、往復で受け取る仕事はゼロである。ひもは蓄えた仕事を返す。ここでは、課された法則のために、仕事が $L$ の関数である弾性エネルギーの変化に等しくなっている。これはヒステリシスのないこのモデルと、この種の過程に固有の性質であり、仕事による移動一般の性質ではない。