熱力学の解答付き演習

ポリトロープ過程 $P V^{k} = 一定$ の仕事

演習 22 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

$k \in R$ かつ $k \neq = 1$ とし， $P V^{k} = 一定$ を満たす理想気体の準静的過程を考える。

ヒント

C = P_{A} V_{A}^{k}

として

P (V) = C V^{- k}

とおき，積分した後，

C V^{1 - k} = P V

を用いる。

解答

問1。ポリトロープ関係式は

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k}

と書ける。銀行家の符号規約により，気体が受け取る仕事は

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

$k \neq = 1$ のとき， $V^{- k}$ の原始関数は $V^{1 - k} / (1 - k)$ である。したがって，

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

ここで

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

よって，

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

問2。 $k = 0$ のとき，関係式 $P V^{0} = C$ は $P = C$ となるので，過程は等圧である。 $P_{A} = P_{B} = P$ だから，

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

等圧過程の仕事の式が直接得られる。

問3。等積過程では，

V_{B} = V_{A}

であり，各瞬間に

d V = 0

である。したがって，

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

自明でない等積過程に対応する有限の $k$ は存在しない。体積 $V$ が一定ならば，関係式 $P V^{k} = 一定$ は圧力 $P$ も一定であることを要求するからである。等積過程は形式的な極限 $k \to \infty$ とみなすことしかできない。

問4。

k = 1

のとき，被積分関数は

1/ V

に比例する。原始関数はもはやべき関数ではなく，対数関数である。したがって，積分を別にやり直す必要がある。ポリトロープ関係式は

P V = C

となる。閉じた理想気体では $P V = n R T$ なので，温度は一定であり， $C = n R T$ である。したがって，気体が受け取る仕事は

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

圧縮では $V_{B} / V_{A} < 1$ なので，対数は負であり，予想どおり $W_{A \to B} > 0$ となる。