熱力学の解答付き演習

ポリトロープ過程 PVk=一定PV^k=\text{一定} の仕事

演習 14 · レッスン 5 — 理想気体への応用

  • ポリトロープ過程
  • 圧力による仕事
  • ラプラスの法則

問題

k∈Rk\in\mathbb{R} かつ k≠1k\neq1 とし，PVk=一定PV^k=\text{一定} を満たす 理想気体の準静的過程を考える。

  1. WA→BW_{A\to B} を PA,VA,PB,VB,kP_A,V_A,P_B,V_B,k を用いて求めよ。
  2. 等圧過程（k=0k=0）の結果を導け。
  3. 等積過程の場合，その値はいくらか（前問の式は用いないこと）。
  4. k=1k=1 の場合はどうなるか。W=−nRTln⁡(VB/VA)W=-nRT\ln(V_B/V_A) を導け。

ヒント
C=PAVAkC=P_AV_A^k として P(V)=CV−kP(V)=CV^{-k} とおき，積分した後， CV1−k=PVCV^{1-k}=PV を用いる。

詳しい解答

解答
問1。 ポリトロープ関係式は

PVk=C,P(V)=CV−k,C=PAVAk=PBVBkPV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k

と書ける。 銀行家の符号規約により，気体が受け取る仕事は

WA→B=−∫VAVBP(V) dV=−C∫VAVBV−k dV.W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.

k≠1k\neq1 のとき，V−kV^{-k} の原始関数は V1−k/(1−k)V^{1-k}/(1-k) である。したがって，

WA→B=−C1−k(VB1−k−VA1−k)=CVA1−k−CVB1−k1−k.W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.

ここで

CVA1−k=PAVA,CVB1−k=PBVB.CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.

よって，

WA→B=PAVA−PBVB1−k=PBVB−PAVAk−1.\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.

問2。 k=0k=0 のとき，関係式 PV0=CPV^0=C は P=CP=C となるので，過程は等圧である。PA=PB=PP_A=P_B=P だから，

WA→B=PAVA−PBVB=P(VA−VB)=−P(VB−VA)=−PΔV.W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.

等圧過程の仕事の式が直接得られる。

問3。 等積過程では， VB=VAV_B=V_A であり，各瞬間に dV=0\mathrm{d}V=0 である。したがって，

WA→B=−∫ABP dV=0.W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.

自明でない等積過程に対応する有限の kk は存在しない。体積 VV が一定ならば， 関係式 PVk=一定PV^k=\text{一定} は圧力 PP も一定であることを要求するからである。 等積過程は形式的な極限 k→∞k\to\infty とみなすことしかできない。

問4。 k=1k=1 のとき，被積分関数は 1/V1/V に比例する。 原始関数はもはやべき関数ではなく，対数関数である。したがって， 積分を別にやり直す必要がある。ポリトロープ関係式は

PV=CPV=C

となる。 閉じた理想気体では PV=nRTPV=nRT なので，温度は一定であり， C=nRTC=nRT である。したがって，気体が受け取る仕事は

WA→B=−∫VAVBnRTV dV=−nRTln⁡ ⁣(VBVA).W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).

圧縮では VB/VA<1V_B/V_A<1 なので，対数は負であり，予想どおり WA→B>0W_{A\to B}>0 となる。