矩形冷凍サイクル？

問1。 点 $A$，$B$，$C$，$D$ は，それぞれ左下，右下，右上，左上に位置する。過程 $A\to B$ と $C\to D$ は等圧過程，$B\to C$ と $D\to A$ は等積過程である。$A\to B\to C\to D\to A$ は反時計回りに進む。

問2。 気体が受け取る仕事は

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}V.$$

等積過程 $B\to C$ と $D\to A$ ではゼロである。二つの 等圧過程では，

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V,W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

したがって，

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=(-P_1+P_2)\Delta V=\Delta P\Delta V>0}$$

この値はクラペイロン線図における長方形の面積に確かに等しい。

問3。 単原子理想気体について，

$$\Delta U=n{c}_V\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T.$$

等圧過程では，状態方程式より $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branch}}$ である。 したがって，

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}{P}_1\Delta V,\Delta U_{CD}=-\frac{3}{2}{P}_2\Delta V.$$

等積過程では $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branch}}$ なので，

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,\Delta U_{DA}=-\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

最後に，熱力学第一法則 $\Delta U=Q+W$，すなわち $Q=\Delta U-W$ より， 次の一覧表が得られる：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}\text{過程}& W& \Delta U& Q=\Delta U-W\\ A\to B& -P_1\Delta V& \frac{3}{2}{P}_1\Delta V& \frac{5}{2}{P}_1\Delta V\\ B\to C& 0& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P\\ C\to D& P_2\Delta V& -\frac{3}{2}{P}_2\Delta V& -\frac{5}{2}{P}_2\Delta V\\ D\to A& 0& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P\end{array}\end{array}$$

問4。 サイクルにおいては，あらゆる状態関数と同様に，内部エネルギーの変化の和はゼロである。したがって第一法則により

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\Delta V<0.$$

気体は全体として仕事を受け取る。このサイクルは仕事を受け取る逆サイクルである。表より，気体は $A\to B$ と $B\to C$ で熱を受け取り，$C\to D$ と $D\to A$ で熱を放出する：

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{5}{2}{P}_1\Delta V+\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,Q_{\mathrm{out}}=-(Q_{CD}+Q_{DA})=\frac{5}{2}{P}_2\Delta V+\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

両者の差をとり，$P_2-P_1=\Delta P$，$V_2-V_1=\Delta V$ を用いると

$$Q_{\mathrm{out}}-Q_{\mathrm{in}}=\frac{5}{2}\Delta P\Delta V-\frac{3}{2}\Delta P\Delta V=\Delta P\Delta V=W_{\mathrm{cycle}},$$

よって

$$\boxed{Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}}$$

1サイクルの間に，気体は受け取ったエネルギーのすべてを，熱も仕事も含めて，熱として放出する。

問5。 状態方程式から，各頂点で $T=PV/(nR)$ である：

$$T_A=\frac{P_1{V}_1}{nR},T_B=\frac{P_1{V}_2}{nR},T_C=\frac{P_2{V}_2}{nR},T_D=\frac{P_2{V}_1}{nR}.$$

$P_1<P_2$，$V_1<V_2$ であるから，積 $PV$ は $A$ で最小，$C$ で最大である。$T_A$ がサイクルの最低温度，$T_C$ が最高温度であり，$T_B$ と $T_D$ はその中間にある。

等圧過程 $A\to B$ では圧力一定のもとで $V$ が増加するので，$T$ は $T_A$ から $T_B$ へ上昇する。等積過程 $B\to C$ では体積一定のもとで $P$ が増加するので，$T$ は $T_B$ から $T_C$ へ上昇する。同様に，$T$ は $C\to D$ で $T_C$ から $T_D$ へ，次いで $D\to A$ で $T_D$ から $T_A$ へ下降する。 したがって気体は，温度が最低値 $T_A$ から最高値 $T_C$ まで上昇する間に熱を受け取り，温度が $T_C$ から $T_A$ へ再び下降する間に熱を放出する。 問6。 熱を受け取るためには，気体は少なくとも自身と同じ温度の熱源に接していなければならない。準静的な極限では，熱源の温度は気体の温度に追従する。したがって，気体に熱を与える熱源の温度は $T_A$ からサイクルの最高温度 $T_C$ まで広がっている。逆に，気体の熱を受け取る熱源の温度は $T_C$ からサイクルの最低温度 $T_A$ まで広がっている。 つまり，低温側と高温側が分かれていない。気体は非常に高温の熱源から熱を取り，非常に低温の熱源へ熱を与える。冷蔵庫は最も低い温度で熱を取り出し，最も高い温度で熱を捨てなければならないので，このサイクルは冷蔵庫として使えない。このサイクルは仕事を受け取り，それをすべて熱として返す（$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$）とともに，さまざまな温度の熱源の間で熱を再分配している。 冷蔵庫は逆に，サイクルの最も低温の部分で熱を吸収し，最も高温の部分で熱を放出しなければならない。第6課で学ぶ，逆向きに運転したカルノーサイクルがまさにそうである。そこでは気体は低温の等温線に沿って熱を受け取り，高温の等温線に沿って熱を放出する。したがって，サイクルが仕事を受け取るというだけでは，冷凍サイクルであるには不十分である。 問7。 ここでは $\Delta P=2,0\times 10^5$ Pa，$\Delta V=1,0\times 10^{-2}$ m${}^3$ である：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{crrr}\text{過程}& W(\mathrm{J})& \Delta U(\mathrm{J})& Q(\mathrm{J})\\ A\to B& -1000& 1500& 2500\\ B\to C& 0& 4500& 4500\\ C\to D& 3000& -4500& -7500\\ D\to A& 0& -1500& -1500\end{array}\end{array}$$

よって $W_{\mathrm{cycle}}=+2000\mathrm{J}$，$Q_{\mathrm{cycle}}=-2000\mathrm{J}$，$\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ である。受け取る熱は $Q_{\mathrm{in}}=2500+4500=7000\mathrm{J}$，放出する熱は $Q_{\mathrm{out}}=7500+1500=9000\mathrm{J}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}$ である。 温度の比は $n$ によらない：

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{V_2}{V_1}=3,\frac{T_C}{T_A}=\frac{P_2{V}_2}{P_1{V}_1}=9,\frac{T_D}{T_A}=\frac{P_2}{P_1}=3.$$

サイクルの最低温度が冷たい庫内の温度，たとえば $T_A=270\mathrm{K}$ であったとすると，気体は $T_C=9T_A\simeq 2400\mathrm{K}$ に達する熱源からも熱を受け取らなければならない。このようなサイクルが庫内を冷やさないことは明らかである。