熱力学の解答付き演習

矩形冷凍サイクル

演習 15 · レッスン 5 — 理想気体への応用

  • 熱力学サイクル
  • 矩形サイクル
  • クラペイロン線図
  • 仕事
  • 熱
  • 面積
  • 理想気体
  • 冷凍サイクル
  • 冷凍機
  • COP

問題

U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT である単原子理想気体 nn モルが，反時計回りの 準静的矩形サイクル

A(P1,V1)→B(P1,V2)→C(P2,V2)→D(P2,V1)→AA(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A

を行う。ここで V2>V1V_2>V_1，P2>P1P_2>P_1 である。 また，

ΔP=P2−P1>0,ΔV=V2−V1>0\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0

とおく。

この冷凍サイクルを冷凍機のモデルとして用いる。その冷凍成績係数（COP）を

COP=QfWin=QfWcycle\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}}

と定義する。ここで Qf>0Q_f>0 は，熱を受け取る各過程で気体が奪う熱の総量， Wcycle>0W_{\mathrm{cycle}}>0 は気体が正味で受け取る仕事である。

  1. サイクルをクラペイロン線図 (P,V)(P,V) 上に描き，各過程の種類を示せ。
  2. 変化量 ΔV\Delta V を用いて四つの各過程で気体が受け取る仕事を求め，次に全仕事を ΔP\Delta P と ΔV\Delta V を用いて求めよ。その値を長方形の面積からも求めよ。
  3. 各過程の ΔU\Delta U と QQ を P1P_1，P2P_2，V1V_1，V2V_2，ΔP\Delta P，ΔV\Delta V を用いて表せ。等積過程では ΔP\Delta P，等圧過程では ΔV\Delta V を用いること。
  4. ΔUcycle=0\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0 および Qcycle=−WcycleQ_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}} を確かめよ。このサイクルは動力サイクルか冷凍サイクルか。どの過程で気体は熱を受け取り，どの過程で熱を放出するか。低温熱源と高温熱源を特定して，これらの熱交換を解釈せよ。ここで冷却されるものは何か。
  5. このサイクルの冷凍成績係数を P1P_1，P2P_2， V1V_1，V2V_2 を用いて求めよ。
  6. COP の物理的意味を説明せよ。熱機関の効率とは異なり，COP が1より大きくなり得るのはなぜか。
  7. 数値例：P1=1,0P_1=1{,}0 bar，P2=3,0P_2=3{,}0 bar，V1=5,0V_1=5{,}0 L，V2=15,0V_2=15{,}0 L とする。各過程の WW と QQ，次いでサイクル全体での収支と COP を求めよ。

ヒント
等積過程では nR ΔT=V ΔPnR\,\Delta T=V\,\Delta P であり，仕事はゼロである。等圧過程では nR ΔT=P ΔVnR\,\Delta T=P\,\Delta V および W=−PΔVW=-P\Delta V である。すべての状態関数は，サイクルの終了時に初期値へ戻る。

詳しい解答

解答
問1。 点 AA，BB，CC，DD は，それぞれ左下，右下，右上，左上に位置する。過程 A→BA\to B と C→DC\to D は等圧過程，B→CB\to C と D→AD\to A は等積過程である。A→B→C→D→AA\to B\to C\to D\to A は反時計回りに進む。

クラペイロン線図における等圧過程と等積過程からなる矩形サイクル。
図 1. クラペイロン線図における等圧過程と等積過程からなる矩形サイクル。

問2。 気体が受け取る仕事は

W=−∫Pext dV.W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

等積過程 B→CB\to C と D→AD\to A ではゼロである。二つの 等圧過程では，

WAB=−P1(V2−V1)=−P1ΔV,WCD=−P2(V1−V2)=P2ΔV.W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

したがって，

Wcycle=(−P1+P2)ΔV=ΔP ΔV>0.\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

この値はクラペイロン線図における長方形の面積に確かに等しい。

問3。 単原子理想気体について，

ΔU=ncVΔT=32nRΔT.\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

等圧過程では，状態方程式より nRΔT=PΔVbranchenR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}} である。 したがって，

ΔUAB=32P1ΔV,ΔUCD=−32P2ΔV.\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

等積過程では nRΔT=VΔPbranchenR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}} なので，

ΔUBC=32V2ΔP,ΔUDA=−32V1ΔP.\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

最後に，熱力学第一法則 ΔU=Q+W\Delta U=Q+W，すなわち Q=ΔU−WQ=\Delta U-W より， 次の一覧表が得られる：

過程WΔUQ=ΔU−WA→B−P1ΔV32P1ΔV52P1ΔVB→C032V2ΔP32V2ΔPC→DP2ΔV−32P2ΔV−52P2ΔVD→A0−32V1ΔP−32V1ΔP\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{過程} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

問4。 内部エネルギー変化の和はゼロである。したがって熱力学第一法則より

Qcycle=−Wcycle=−ΔP ΔV<0.Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

気体は全体として仕事を受け取るので，これは冷凍サイクルである。気体は A→BA\to B と B→CB\to C で熱を受け取る。この二つの過程では，接触している低温熱源から熱を奪う。したがって，ここで冷却されるのはサイクルを行う気体そのものではなく，これらの外部の熱源，例えば冷蔵庫内の空間や食品である。

C→DC\to D と D→AD\to A では，逆に気体は高温熱源，例えば室内の空気へ熱を放出する。これらの熱源が受け取る熱の総量を Qchaud>0Q_{\mathrm{chaud}}>0 とすると，

Qchaud=−(QCD+QDA)=52P2ΔV+32V1ΔP.Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

このように，サイクルは受け取った仕事によって低温熱源から高温熱源へ熱を移動させる。

問5。 気体が低温熱源から奪う熱は

Qf=QAB+QBC=52P1ΔV+32V2ΔP.Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

したがって，

COP=52P1ΔV+32V2ΔPΔP ΔV.\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

問6。 COP は，投入した仕事に対して得られる冷凍効果を表す。COP が kk であるとは，1ジュールの仕事を与えるごとに，低温熱源から kk ジュールの熱を奪えることを意味する。

熱機関の効率とは異なり，COP は受け取ったエネルギーのうち仕事へ変換される割合ではない。気体は仕事 WinW_{\mathrm{in}} と低温熱源から奪った熱 QfQ_f の両方を受け取り，その和を高温熱源へ放出する：

Qchaud=Qf+Win.\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

したがって，QfQ_f が WinW_{\mathrm{in}} より小さくなければならない理由はなく，COP が1より大きくてもエネルギー保存則には全く反しない。

問7。 ここでは ΔP=2,0×105\Delta P=2{,}0\times10^5 Pa，ΔV=1,0×10−2\Delta V=1{,}0\times10^{-2} m3^3 である：

過程W (J)ΔU (J)Q (J)A→B−100015002500B→C045004500C→D3000−4500−7500D→A0−1500−1500\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{過程} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

したがって，Wcycle=+2000W_{\mathrm{cycle}}=+2000 J，Qcycle=−2000Q_{\mathrm{cycle}}=-2000 J，ΔUcycle=0\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0 である。奪った熱は

Qf=2500+4500=7000 J,Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

一方，高温熱源へ放出した熱は

Qchaud=7500+1500=9000 J=Qf+Wcycle.Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

したがって冷凍成績係数は

COP=70002000=3,5.\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.