熱力学の解答付き演習

一定圧力下の加熱： $c_{P}$ の導出

演習 21 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

モル熱容量 $c_{V}$ をもつ理想気体1モルが，初期体積 $V_{0}$ のシリンダー内に封入されている。シリンダーは，摩擦なく動く断熱ピストンで閉じられており，ピストンには一定の外圧 $P_{0}$ が作用する。気体内部の電気抵抗器が，準静的に熱 $Q > 0$ を気体へ与える。

装置の簡単な模式図を描け。気体，ピストン，抵抗器，外圧 $P_{0}$ ，およびエネルギー移動を示せ。
数値を用いずに初期温度 $T_{0}$ を表し，次いで終状態 $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ ，気体が受け取る仕事 $W$ ，および内部エネルギー変化 $Δ U$ を求めよ。
定圧モル熱容量 $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ を $c_{V}$ と $R$ を用いて導け。
単原子理想気体についての数値例： $c_{V} = \frac{3}{2} R$ ， $V_{0} = 25 L$ ， $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ ， $Q = 1000 J$ ，および $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ とする。

ヒント

過程は等圧であり，

W = - P_{0} Δ V

である。理想気体1モルについて，

P_{0} Δ V = R Δ T

である。これらの関係を熱力学第一法則に代入する。

解答

問1。模式図には，可動ピストンで閉じられたシリンダー内の気体を示す。シリンダー内の矢印は，抵抗器から与えられる熱

Q

を表す。外圧

P_{0}

はピストンに作用し，気体が膨張するとピストンは上方へ移動する。問2。初期状態の状態方程式より

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

圧力は一定なので $P_{f} = P_{0}$ である。また， $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ である。したがって熱力学第一法則より

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

ゆえに

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

したがって終状態は

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

最後に，

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

問3。一定圧力下では $Q = (c_{V} + R) Δ T$ なので，

c_{P} = c_{V} + R .

これはマイヤーの関係式である。

問4。単原子気体について，

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

次の値が得られる：

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

最後に，

W = - 400 J, Δ U = 600 J .