熱力学の解答付き演習

一定圧力下の加熱：cPc_P の導出

演習 13 · レッスン 5 — 理想気体への応用

  • 熱容量
  • 一定圧力
  • マイヤーの関係式
  • 等圧加熱
  • 理想気体

問題

モル熱容量 cVc_V をもつ理想気体1モルが，初期体積 V0V_0 の シリンダー内に封入されている。シリンダーは，摩擦なく動く断熱ピストンで 閉じられており，ピストンには一定の外圧 P0P_0 が作用する。 気体内部の電気抵抗器が，準静的に熱 Q>0Q>0 を気体へ与える。

  1. 装置の簡単な模式図を描け。気体，ピストン，抵抗器，外圧 P0P_0， およびエネルギー移動を示せ。
  2. 数値を用いずに初期温度 T0T_0 を表し，次いで終状態 (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f)， 気体が受け取る仕事 WW，および内部エネルギー変化 ΔU\Delta U を求めよ。
  3. 定圧モル熱容量 cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P を cVc_V と RR を用いて導け。
  4. 単原子理想気体についての数値例： cV=32Rc_V=\frac32R，V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}， P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}，Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J}，および R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} とする。

ヒント
過程は等圧であり，W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V である。理想気体1モルについて， P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T である。これらの関係を熱力学第一法則に 代入する。

詳しい解答

解答
問1。 模式図には，可動ピストンで閉じられたシリンダー内の 気体を示す。シリンダー内の矢印は，抵抗器から与えられる熱 QQ を表す。 外圧 P0P_0 はピストンに作用し，気体が膨張するとピストンは上方へ移動する。

問2。 初期状態の状態方程式より

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

圧力は一定なので Pf=P0P_f=P_0 である。また， W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T である。したがって熱力学第一法則より

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

ゆえに

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

したがって終状態は

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

最後に，

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

問3。 一定圧力下では Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T なので，

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

これはマイヤーの関係式である。

問4。 単原子気体について，

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

次の値が得られる：

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

最後に，

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.