熱力学の解答付き演習

一様な重力球を組み立てる

演習 15 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

重力
相互作用エネルギー
一様球
示量性
長距離力

問題

半径 $R$ の球に、質量 $M$ が密度 $ρ_{m}$ で一様に分布している。その重力位置エネルギー $U_{grav}$ を、質量要素が互いに無限に離れているときをゼロとして計算したい。

同じ密度を保ちながら、同心の層を重ねて球を組み立てることを考える。半径が $r$ に達した段階で、すでに組み立てられた質量は $M (r)$ であり、そこへ無限遠から質量 $d M$ の球殻を運んでくる。内部の質量がその表面につくる重力ポテンシャルは $- GM (r) / r$ であることを認める。計算するのは重力エネルギーだけであり、球の力学的平衡は仮定しない。

すでに組み立てられた球と、 $r$ と $r + d r$ の間に加えられる球殻を図示せよ。 $ρ_{m}$ 、 $M (r)$ 、 $d M$ を $M, R, r$ および $d r$ で表せ。
球殻と内部の球との相互作用エネルギーを表し、積分して $U_{grav}$ を求めよ。結果を2で割る必要はあるか。
球は質量 $m$ の構成要素 $N$ 個からなり、 $M = N m$ である。密度 $ρ_{m}$ を固定して、 $R$ を $N$ で表し、 $U_{grav}$ と $U_{grav} / N$ の $N$ への依存性を求めよ。
構成要素 $2 N$ 個の球のエネルギーを、無限に離れた構成要素 $N$ 個ずつの二つの球のエネルギーの和と比較せよ。いずれも同じ密度とする。差の符号と示量性について考察せよ。

ヒント

球殻の体積は

4 π r^{2} d r

である。すでにある質量との相互作用エネルギーは

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

である。この数え方では、各対はその外側の部分が加えられるときに数えられる。

詳しい解答

解答

問1。図には、質量

M (r)

をもつ半径

r

の球と、それを囲む厚さ

d r

の層を描き、最終的な半径

R

を示す。密度が一様であることから

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

したがって、加えられる質量は

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

問2。重力ポテンシャルは単位質量あたりのエネルギーである。これに運んできた質量を掛けると

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

積分は組み立て途中のすべての半径にわたる：

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

新しい層と内側の層の間の各相互作用は一度だけ数えられている。したがって因子 $1/2$ を付け加えてはならない。微小な球殻の自己エネルギーは $(d M)^{2}$ の次数であり、連続極限では積分に寄与しない。負の符号は引力を表し、質量を引き離すにはエネルギーを与える必要がある。最後に、 $G M^{2} / R$ は確かにジュールの単位をもつ。

問3。密度を固定すると

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

エネルギーの式に $M$ と $R$ を代入すると

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3} .

ここで $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ は $N$ によらない。したがって構成要素一個あたりのエネルギーは $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ である。その絶対値は系の大きさとともに増加し、示強的にはならない。

問4。大きな球のエネルギーは

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

である。無限に離れた二つの球では相互作用はゼロであり、和は

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

となる。差は

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

大きな球のほうが重力的により強く束縛されている。この状態の比較だけでは、二つの球が合体する力学は記述できない。しかしこの比較は $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ を示している。すなわち、重力エネルギーは示量的でない。エネルギー保存が否定されるわけではない。示量性は追加の仮定であり、この長距離相互作用ではそれが成り立たないのである。