熱力学の解答付き演習

帯電した球と示量性の問題

演習 16 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

クーロン相互作用
静電エネルギー
示量性
電気的中性

問題

全電荷 $Q > 0$ が、真空中にある半径 $R$ の球の体積内に一様に分布している。何らかの拘束がこの分布を保っているが、ここではその静電エネルギー $U_{el}$ だけを数える。これは導体球ではない。導体球なら、平衡状態で電荷は表面に集まるはずである。

無限遠から帯電した球殻を運んできて、この分布を組み立てる。半径 $r$ の球内にすでに電荷 $Q (r)$ が組み立てられているとき、表面での電位は $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ である。ここで $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ である。電荷要素が互いに無限に離れているときのエネルギーをゼロとする。

組み立ての一段階を図示せよ。 $Q (r)$ と $d Q$ を $Q, R, r$ および $d r$ で表し、 $U_{el}$ を計算せよ。
同じ電荷 $q_{0}$ をもつ $N$ 個の構成要素からなる連続モデルで、 $Q = N q_{0}$ とおく。粒子数密度を固定して $R = r_{0} N^{1/3}$ と書き、エネルギーの $N$ への依存性を求めよ。その符号と同次性の次数を、重力の場合と比較せよ。
全電荷を固定して、 $R_{A}$ から $R_{B} > R_{A}$ へ膨張するときのエネルギー変化を計算せよ。この膨張が準静的かつ散逸なしに行われるとき、受け取る外部仕事の符号はどうなるか。この仕事の式は電気的な寄与だけを表す。
符号の異なる電荷があるとき、微視的な相互作用エネルギーは $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}}$
と書ける。一種類の符号の電荷をもつ球について得られた法則が、通常の物質がすべて示量的でないことを証明しないのはなぜか。全電荷がゼロであれば、この和はゼロになるか。

ヒント

d U_{el} = Φ (r) d Q

を用いる。球殻による組み立てでは、各対は一度だけ数えられる。最後の問では、距離

a

だけ離れた電荷

+ q_{0}

と

- q_{0}

の単純な対を調べよ。

詳しい解答

解答

問1。図には、すでに帯電した半径

r

の球と、運んでくる厚さ

d r

の球殻を描く。一定の体積電荷密度は

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

である。したがって

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

付け加えるときのエネルギー変化は

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

中心から表面までの寄与を足し合わせると

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

各層の対の相互作用は一度だけ数えられているので、因子 $1/2$ を追加する必要はない。結果は正である。電荷を組み立てるには斥力に逆らわなければならない。積 $k_{e} Q^{2} / R$ の単位はジュールである。

問2。粒子数密度

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

を固定すると、

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

である。代入すると

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

このエネルギーは次数 $5/3$ をもち、したがって示量的でない。粒子一個あたりのエネルギーは $N^{2/3}$ のように増加する。二つのポテンシャルがともに $1/ r$ のように減少するので、次数は重力球の場合と同じである。同符号の電荷は反発し合うので、符号は逆である。連続モデルは集団的な寄与を記述するものであり、点電荷の自己エネルギーは数えていない。

問3。

Q

を固定すると、差は

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

散逸のない準静的な変化では、受け取る仕事への電気的な寄与は位置エネルギーの変化に等しい。積分によっても確かめられる：

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

外部の作用者は反発し合う電荷を引き留めており、膨張の間に仕事を受け取る。この電気的な収支には、保持装置へのその他のエネルギー蓄積は含めていない。

問4。同符号の電荷では、積

q_{i} q_{j}

はすべて正であり、その寄与は足し合わされる。これに対して電気的に中性な物質では、引力的な寄与と斥力的な寄与が存在し、遠距離では互いに打ち消し合いうる。このように、中性であることと、それが関わる媒質では遮蔽とが、すべて同符号の項を足し合わせることに基づく推論を変えてしまう。しかし、全体として中性であることは

U_{el} = 0

を意味しない。距離

a

だけ離れた二つの電荷

+ q_{0}

と

- q_{0}

は、全電荷がゼロでも、ゼロでない相互作用エネルギー

- k_{e} q_{0}^{2} / a

をもつ。スケーリング則を導くには、電荷の配置と相関を知る必要がある。したがって、一様に帯電した球の計算は、あらゆる物質が示量的でないことの証明にも、中性の系が示量的であることの証明にもならない。