熱力学の解答付き演習

講義演習：基本的な熱力学過程

演習 17 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

初期状態を $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ とする単原子理想気体 $n$ モルを考える。いずれも $A$ から出発し， $T_{f} > T_{i}$ を満たす次の三つの準静的過程をそれぞれ独立に考察する：

銀行家の符号規約，すなわち気体が受け取るエネルギー移動を正とする規約を採用する。

三つの過程を同一のクラペイロン線図 $(P, V)$ 上に描き，状態 $B$ ， $C$ ， $D$ を記号で求めよ。
三つの各過程について， $W$ ， $Δ U$ ， $Q$ を記号で求めよ。
エネルギー移動の符号について考察せよ。
数値例： $n = 1 mol$ ， $T_{i} = 300 K$ ， $T_{f} = 500 K$ ，および $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ とする。

ヒント

単原子理想気体では

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

である。

W = - \int P d V

と熱力学第一法則

Δ U = Q + W

を用いる。

解答

問1。理想気体の状態方程式より

状態 A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

$(P, V)$ 線図では， $A \to B$ は鉛直線， $A \to C$ は等温線 $T_{i}$ に沿って左向き， $A \to D$ は水平線に沿って右向きである。

問2。等積加熱

A \to B

。

d V = 0

なので，

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

等温圧縮 $A \to C$ 。温度は一定なので， $Δ U_{A C} = 0$ である。また，

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

等圧加熱 $A \to D$ 。圧力一定のもとで， $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ であるから，

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

問3。等積過程では，受け取った熱はすべて内部エネルギーを増加させる。等温圧縮中，気体は仕事を受け取り，それとちょうど同じエネルギーを熱として放出する。等圧過程では，気体は熱を受け取り，内部エネルギーを増加させるとともに，膨張によって仕事を外部へ与える。

問4。

T_{f} - T_{i} = 200 K

より：

過程 等積 A \to B 等温 A \to C 等圧 A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16