熱力学の解答付き演習

講義演習：基本的な熱力学過程

演習 9 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

初期状態を $A(P_A,V_A,T_i)$ とする単原子理想気体 $n$ モルを考える。いずれも $A$ から出発し， $T_f>T_i$ を満たす次の三つの準静的過程をそれぞれ独立に考察する：

銀行家の符号規約，すなわち気体が受け取るエネルギー移動を正とする規約を採用する。

三つの過程を同一のクラペイロン線図 $(P,V)$ 上に描き，状態 $B$ ， $C$ ， $D$ を記号で求めよ。
三つの各過程について， $W$ ， $\Delta U$ ， $Q$ を記号で求めよ。
エネルギー移動の符号について考察せよ。
数値例： $n=1\ \mathrm{mol}$ ， $T_i=300\ \mathrm{K}$ ， $T_f=500\ \mathrm{K}$ ，および $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ とする。

ヒント

単原子理想気体では

\Delta U=\frac32nR\Delta T

である。

W=-\int P\,\mathrm{d}V

と熱力学第一法則

\Delta U=Q+W

を用いる。

解答

問1。理想気体の状態方程式より

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{状態} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

$(P,V)$ 線図では， $A\to B$ は鉛直線， $A\to C$ は等温線 $T_i$ に沿って左向き， $A\to D$ は水平線に沿って右向きである。

問2。

等積加熱 $A\to B$ 。 $\mathrm{d}V=0$ なので，

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

等温圧縮 $A\to C$ 。温度は一定なので， $\Delta U_{AC}=0$ である。また，

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

等圧加熱 $A\to D$ 。圧力一定のもとで， $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ であるから，

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

問3。等積過程では，受け取った熱はすべて内部エネルギーを増加させる。等温圧縮中，気体は仕事を受け取り，それとちょうど同じエネルギーを熱として放出する。等圧過程では，気体は熱を受け取り，内部エネルギーを増加させるとともに，膨張によって仕事を外部へ与える。

問4。 $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ より：

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{過程} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{等積 }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{等温 }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{等圧 }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}