熱力学の解答付き演習

講義演習：ラプラスの法則

演習 10 · レッスン 5 — 理想気体への応用

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問題

断熱指数 γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V が一定である理想気体 nn モルを考える。系は閉じているものとする。マイヤーの関係式 cP−cV=Rc_P - c_V = R を既知とする（cPc_P の導出に関する演習を参照）。

  1. 次式を示せ： cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. 気体は Pext=PP_{\text{ext}} = P と仮定できる準静的断熱過程を行う。微分形の熱力学第一法則から出発して， dTT+(γ−1)dVV=0\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 を示し，さらに過程に沿って TVγ−1=一定TV^{\gamma-1} = \text{一定} となることを導け。
  3. ラプラスの法則の他の二つの形，PVγ=一定PV^\gamma = \text{一定} および TγP1−γ=一定T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{一定} を導け。
  4. 単原子気体（γ=5/3\gamma = 5/3）n=1n = 1 mol が，初期温度 Ti=300T_i = 300 K から体積が2倍になるまでこのような膨張を行う。TfT_f，次いで ΔT\Delta T と WW を求め，ΔT\Delta T と WW の符号について考察せよ。
  5. クラペイロン線図 (P,V)(P,V) 上の同一点において，この断熱曲線の傾きと等温曲線の傾きを比較せよ。

ヒント
問2では，dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T および δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V に P=nRT/VP = nRT/V を用い，変数分離する。問5では，PVγ=一定PV^\gamma = \text{一定} と PV=一定PV = \text{一定} を微分する。

詳しい解答

解答
問1。 cP=γcVc_P = \gamma c_V と cP−cV=Rc_P - c_V = R から cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R が得られ，二つの式が導かれる。

問2。 断熱過程では δQ=0\delta Q = 0 であるから，dU=δW\mathrm{d}U = \delta W，すなわち ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V である。cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1) を用いると：

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

積分すると ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=一定\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{一定}，すなわち TVγ−1=一定TV^{\gamma-1} = \text{一定} となる。

問3。 T=PV/(nR)T = PV/(nR) を代入すると，nn は一定なので PVγ=一定PV^\gamma = \text{一定} が得られる。 V=nRT/PV = nRT/P を代入すると，T(TP)γ−1=一定T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{一定} となり，したがって TγP1−γ=一定T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{一定} である。

問4。 ラプラスの法則 TVγ−1=一定T V^{\gamma - 1} = \text{一定} を用いるのが最も簡単である。この式から TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}，すなわち Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K を得る。 誤りを避けるため，この計算では温度を必ずケルビンで表す必要があることに注意せよ。 したがって ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K である。 仕事については Q=0Q = 0 なので：

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0：膨張中，気体は外部へ仕事を与える。 熱源から熱を受け取れないため（Q=0Q=0），気体は内部エネルギーを費やし，その結果 ΔT<0\Delta T < 0 の冷却が生じる。

問5。 PV=一定PV = \text{一定} を微分すると (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V} である。PVγ=一定PV^\gamma = \text{一定} を微分すると (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V} である。断熱曲線の傾きの絶対値は等温曲線の γ\gamma 倍である。熱を逃がさずに圧縮すると温度も上昇するため，圧力はより急速に増加する。