熱力学の解答付き演習

講義演習：ラプラスの法則

演習 18 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

断熱指数 $γ = c_{P} / c_{V}$ が一定である理想気体 $n$ モルを考える。系は閉じているものとする。マイヤーの関係式 $c_{P} - c_{V} = R$ を既知とする（ $c_{P}$ の導出に関する演習を参照）。

次式を示せ： $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
気体は $P_{ext} = P$ と仮定できる準静的断熱過程を行う。微分形の熱力学第一法則から出発して， $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0$ を示し，さらに過程に沿って $T V^{γ - 1} = 一定$ となることを導け。
ラプラスの法則の他の二つの形， $P V^{γ} = 一定$ および $T^{γ} P^{1 - γ} = 一定$ を導け。
単原子気体（ $γ = 5/3$ ） $n = 1$ mol が，初期温度 $T_{i} = 300$ K から体積が2倍になるまでこのような膨張を行う。 $T_{f}$ ，次いで $Δ T$ と $W$ を求め， $Δ T$ と $W$ の符号について考察せよ。
クラペイロン線図 $(P, V)$ 上の同一点において，この断熱曲線の傾きと等温曲線の傾きを比較せよ。

ヒント

問2では，

d U = n c_{V} d T

および

δ W = - P d V

に

P = n R T / V

を用い，変数分離する。問5では，

P V^{γ} = 一定

と

P V = 一定

を微分する。

解答

問1。

c_{P} = γ c_{V}

と

c_{P} - c_{V} = R

から

c_{V} (γ - 1) = R

が得られ，二つの式が導かれる。問2。断熱過程では

δ Q = 0

であるから，

d U = δ W

，すなわち

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

である。

c_{V} = R / (γ - 1)

を用いると：

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

積分すると $ln T + (γ - 1) ln V = 一定$ ，すなわち $T V^{γ - 1} = 一定$ となる。

問3。

T = P V / (n R)

を代入すると，

n

は一定なので

P V^{γ} = 一定

が得られる。

V = n R T / P

を代入すると，

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = 一定

となり，したがって

T^{γ} P^{1 - γ} = 一定

である。問4。ラプラスの法則

T V^{γ - 1} = 一定

を用いるのが最も簡単である。この式から

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

，すなわち

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K を得る。誤りを避けるため，この計算では温度を必ずケルビンで表す必要があることに注意せよ。したがって

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K である。仕事については

Q = 0

なので：

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ ：膨張中，気体は外部へ仕事を与える。熱源から熱を受け取れないため（ $Q = 0$ ），気体は内部エネルギーを費やし，その結果 $Δ T < 0$ の冷却が生じる。

問5。

P V = 一定

を微分すると

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

である。

P V^{γ} = 一定

を微分すると

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

である。断熱曲線の傾きの絶対値は等温曲線の

γ

倍である。熱を逃がさずに圧縮すると温度も上昇するため，圧力はより急速に増加する。