熱力学の解答付き演習

宇宙の光子気体

演習 39 · レッスン 7 — 数学的構造：基本関係式

光子気体
放射
宇宙マイクロ波背景放射
基本関係式
断熱膨張
同次関数
ゼロの化学ポテンシャル

問題

宇宙の初期には、物質は原子核、電子、光子からなる高温のプラズマであった。 $T_{i} \approx 3000 K$ ごろに最初の原子が形成され、光子は自由になる。この時点で光子気体は温度 $T_{i}$ で平衡にあり、その後、宇宙の膨張にともなって可逆断熱膨張をすると考える。その基本関係式を

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4}

と認める。ここで $a$ は次元をもつ正の定数である。エントロピーは光子数 $N$ に依存しない。この数は保存されないからである。

一次同次関数の定義を述べ、 $S$ がそれであることを示せ。
$V$ を固定して、 $S$ を $U$ の関数として概形を描け。この関数は凹か。考察せよ。
$S$ の導関数から $T$ 、 $P$ 、 $μ$ を求めよ。特に $U = a^{4} V T^{4}$ と $P = U / (3 V)$ を示し、 $μ$ の値について考察せよ。
この気体について第一法則を書き、可逆断熱膨張の場合に特化せよ。これより、この過程に沿った $U$ と $V$ の関係を導け。
膨張に沿って $V T^{3}$ が一定に保たれることを導け。
$T$ と $V$ の関数として表したエントロピーから、この結果を直接導け。
光子気体は現在 $T_{f} \approx 3 K$ で観測されている。これが宇宙マイクロ波背景放射である。放出以来、宇宙の体積は何倍になったか。

ヒント

エントロピー表示では

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

、

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

、

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

である。問4では、可逆断熱過程は

d S = 0

を満たすので

d U = - P d V

となる。変数を分離せよ。

詳しい解答

解答

問1。多変数の関数

f

が一次同次であるとは、任意の

λ > 0

に対して

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

が成り立つことである。ここでは

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

したがって、光子気体のエントロピーは示量的である。

問2。

V

を固定すると、

S

は

U^{3/4}

に比例する。その一階導関数

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

は正である。 $S$ は $U$ とともに増加し、温度は正である。二階導関数

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

は負であり、 $S$ は $U$ について凹である。曲線は原点から鉛直な接線で出発し、その後、弦より上にとどまりながら曲がっていく。この凹性は、光子気体の平衡の安定性を表している。

問3。問2より

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

$U$ を固定した $V$ についての導関数は

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

ところで $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ なので、

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

最後に、 $S$ は $N$ に依存しないので $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ である。光子の化学ポテンシャルはゼロである。光子の数は保存されないので平衡状態で自由に調整され、光子を一つ加えても何のコストもかからない。

問4。項

μ d N

はゼロなので、微分形の基本関係式は

d U = T d S - P d V

と書ける。可逆断熱膨張では

d S = 0

なので、

P = U / (3 V)

を用いて

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

初期状態から膨張途中の任意の状態まで積分すると $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ 、すなわち

U V^{1/3} = const .

問5。 $U$ を $a^{4} V T^{4}$ で置き換える：

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

$a$ は定数なので $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ は一定であり、したがって $V^{1/3} T$ も一定である。3乗すると $V T^{3} = const$ となる。

問6。

U

を

a^{4} V T^{4}

で置き換えて、

S

を

T

と

V

で表す：

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

可逆断熱膨張は等エントロピー過程である。 $S$ は一定であり、したがって $V T^{3}$ も一定である。問5の結果が直接得られる。

問7。

V T^{3}

は保存されるので、

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

放出以来、宇宙の体積は10億倍になった。これは距離にして $1 0^{3}$ 倍に相当する。約 $3000 K$ で放出され、膨張によって冷えた放射が、現在 $2, 7 K$ で測定されている宇宙マイクロ波背景放射である。