熱力学の解答付き演習

三角形サイクル

演習 20 · レッスン 5 — 理想気体への応用

問題

一定のモル熱容量 $c_{V}$ をもつ理想気体 $n$ モルが，準静的サイクル $A \to B \to C \to A$ を行う：

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

$A \to B$ は等積過程， $B \to C$ は $(P, V)$ 平面上の線分， $C \to A$ は等圧過程である。

動力サイクルの効率を

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}}

と定義する。ここで $Q_{in}$ は，サイクル中に気体が受け取る $δ Q > 0$ の熱移動の総和である。

サイクルをクラペイロン線図上に描き，進行方向を示せ。これは動力サイクルか冷凍サイクルか。
$B$ と $C$ を結ぶ直線の方程式 $P (V)$ を求めよ。
$T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ とおき，温度 $T_{A}$ ， $T_{B}$ ， $T_{C}$ を求めよ。この過程が等温過程ではないにもかかわらず， $Δ U_{B \to C}$ がゼロなのはなぜか。
三つの各過程およびサイクル全体について，気体が受け取る仕事を求めよ。全仕事の絶対値を三角形の面積からも求めよ。
各過程の $Δ U$ と $Q$ を $P_{0}$ ， $V_{0}$ ， $c_{V}$ のみを用いて求め， $Δ U_{cycle} = 0$ と $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ を確かめよ。
$a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ および $x = V / V_{0}$ とおく。 $B \to C$ の途中で $δ Q$ の符号が変化することを示せ。そこから $Q_{in}$ ，次いでこのサイクルの効率 $η$ を求めよ。 $c_{V} = \frac{3}{2} R$ である単原子理想気体について，その値を求めよ。

ヒント

B \to C

では，

B

と

C

を通るという条件を課して

P (V) = aV + b

を求める。内部エネルギー変化を計算するには，各過程の両端の温度だけが必要である。問6では，微分形の熱力学第一法則を用いる。

解答

問1–2。サイクルは時計回りに進み，動力サイクルである。直線

B \to C

の方程式は

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

問3。状態方程式より

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

$B \to C$ に沿って温度は変化するが，両端では同じ値に戻る。一定量の理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するので， $Δ U_{B \to C} = 0$ である。

問4。気体が受け取る仕事は

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

したがって，

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

符号は負であり，気体はサイクル中に仕事を外部へ与える。その絶対値は，底辺 $V_{0}$ ，高さ $P_{0}$ の三角形の面積に等しく，直角三角形の面積の公式 $A = \frac{1}{2} 底辺 \times 高さ$ からも確認できる。

問5。

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

なので，

過程 A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

三つの過程について和をとると，

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

問6。 $a = c_{V} / R$ および $x = V / V_{0}$ とおく。過程 $B \to C$ では， $P = P_{0} (3 - x)$ および $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ である。熱力学第一法則より

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

この微小熱量は

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1}

でゼロになる。 $a > 1$ のとき $1 < x_{⋆} < 2$ である。気体は $B$ から横座標 $x_{⋆}$ の点まで熱を受け取り，その後 $C$ までは熱を放出する。また， $A \to B$ で $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ の熱を受け取る。したがって，

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

よって効率は

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

単原子理想気体では $a = \frac{3}{2}$ なので，

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.