Gelöste Thermodynamikaufgabe

Unabhängige Variablen abzählen

Übung 8 · Lektion 3 — Grundlegende Begriffe

Zustandsgleichung
Freiheitsgrade
Zwangsbedingungen
Zustandskoordinaten

Aufgabenstellung

Die Gleichgewichtszustände eines idealen Gases werden durch die vier positiven Variablen $(P, V, T, n)$ beschrieben, die durch $P V = n R T$ verknüpft sind. Gesucht ist die Dimension $d = q - r$ der Menge der erreichbaren Zustände, wobei $q$ die Anzahl der verwendeten Variablen und $r$ die Anzahl der unabhängigen Beziehungen ist.

Bestimmen Sie $q$ , $r$ und $d$ , wenn $n$ variieren kann. Schlagen Sie drei unabhängige Koordinaten vor und drücken Sie die vierte Variable aus.
Wiederholen Sie die Abzählung für eine feste Stoffmenge $n = n_{0}$ , dann, wenn zusätzlich $T = T_{0}$ vorgegeben wird, und schließlich für $V = V_{0}$ . Geben Sie bei jedem Schritt eine Wahl von Koordinaten für die erreichbaren Zustände an.
Ein Student fügt zu $P V = n R T$ die Beziehung $P = n R T / V$ hinzu und zählt zwei Zustandsgleichungen. Erklären Sie seinen Fehler.
Zwei ideale Gase mit festen Stoffmengen $n_{1}, n_{2}$ füllen die Kammern eines Behälters mit dem Gesamtvolumen $V_{tot}$ . Sie sind durch einen diathermen Kolben getrennt, der reibungsfrei und ohne äußere Kraft beweglich ist. Die gemeinsame Temperatur wird nicht festgelegt. Zählen Sie im Gleichgewicht die unabhängigen Beziehungen zwischen $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ ab. Drücken Sie die Volumina und den gemeinsamen Druck durch eine verbleibende Koordinate aus.

Hinweis

Behalten Sie für die drei Abzählungen in Frage 2 die vier Ausgangsvariablen bei und fügen Sie bei jedem Schritt eine Zwangsbedingung hinzu. Verwenden Sie für den Kolben die beiden Zustandsgleichungen, das Gesamtvolumen, das thermische Gleichgewicht und das mechanische Gleichgewicht.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Man verwendet

q = 4

Variablen und eine unabhängige Beziehung, also

r = 1

und

d = 3

. Man kann

(V, T, n)

wählen: Die verbleibende Variable ist dann

P = n R T / V

. Die Bedingung

V > 0

erlaubt diese Division. Frage 2. Für das geschlossene Gas lauten die Beziehungen

P V = n R T

und

n = n_{0}

, also

r = 2

und

d = 4 - 2 = 2

. Das Paar

(V, T)

eignet sich, mit

P = n_{0} R T / V

. Würde man

n

von vornherein aus der Liste der Variablen streichen, hätte man ebenfalls

q = 3

r = 1

, also dasselbe

d = 2

. Durch die zusätzliche Zwangsbedingung

T = T_{0}

steigt

r

auf

3

, und es folgt

d = 1

. Das Volumen

V

genügt zur Parametrisierung der Zustände, denn

P = n_{0} R T_{0} / V

. Gibt man schließlich

V = V_{0}

vor, steigt

r

auf

4

und es folgt

d = 0

: Es bleibt ein einziger Zustand, bei

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Diese letzte Menge benötigt keine freie Koordinate. Diese Zwangsbedingungen verkleinern die erreichbare Menge, nicht aber die Zahl der Variablen, die zur Beschreibung des Gases ohne Zwangsbedingungen nötig ist. Frage 3. Wegen

V > 0

erhält man die zweite Schreibweise, indem man die erste durch

V

dividiert. Jeder Zustand, der die eine erfüllt, erfüllt automatisch auch die andere. Die zweite Beziehung schließt daher keinen weiteren Zustand aus und erhöht

r

nicht. Zu zählen sind unabhängige Zwangsbedingungen, nicht Gleichungszeilen. Frage 4. Die sechs Variablen erfüllen die fünf Beziehungen

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Wir setzen $T = T_{1} = T_{2}$ und $P = P_{1} = P_{2}$ . Die Addition der Zustandsgleichungen liefert

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Einsetzen in jede Zustandsgleichung ergibt

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Der Faktor $R T$ kürzt sich in den Volumina heraus, nicht aber im Druck. Die Temperatur $T > 0$ bleibt frei und bestimmt alle übrigen Variablen: Die fünf Beziehungen sind tatsächlich unabhängig, und $d = 6 - 5 = 1$ . Eine zusätzliche energetische Angabe könnte einen bestimmten Zustand auswählen; sie wird hier nicht vorgegeben.