Gelöste Thermodynamikaufgabe

Die Größe eines Systems ändern

Übung 7 · Lektion 3 — Grundlegende Begriffe

Extensivität
Intensivität
Homogenität
Oberfläche
Dimensionsanalyse

Aufgabenstellung

Ein gewöhnliches homogenes System besitzt eine Masse $m$ , ein Volumen $V$ , eine Teilchenzahl $N$ , eine innere Energie $U$ , eine Temperatur $T$ und einen Druck $P$ . Wir nehmen hier an, dass $U$ extensiv ist; langreichweitige Wechselwirkungen und Randeffekte werden vernachlässigt. Die Größe des Systems wird bei festem intensivem Zustand geändert: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ mit $λ > 0$ , während $T$ und $P$ unverändert bleiben.

Bestimmen Sie den Homogenitätsgrad von $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ und $V^{1/3}$ . Welche Größen sind extensiv, welche intensiv und welche keines von beiden?
Für eine Energie werden zwei Ausdrücke vorgeschlagen: $U_{1} = a N k_{B} T$ und $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , wobei $a > 0$ dimensionslos und unabhängig von der Systemgröße ist. Überprüfen Sie ihre Dimensionen und bestimmen Sie dann, welcher Ausdruck mit der Extensivitätsannahme verträglich ist. Erläutern Sie, warum diese beiden Prüfungen voneinander verschieden sind.
Drücken Sie für eine Kugel mit Radius $R$ die Oberfläche $A$ durch das Volumen $V$ aus. Bestimmen Sie die Homogenitätsgrade von $A$ und $A / V$ , wenn eine einzelne Kugel bei fester Dichte vergrößert wird.
Vergleichen Sie die Oberfläche einer Kugel mit dem Volumen $8 V$ mit der Gesamtoberfläche von acht getrennten Kugeln mit jeweils dem Volumen $V$ . Erklären Sie, warum „ein Objekt vergrößern“ und „Kopien nebeneinanderstellen“ für die Fläche seiner Grenzflächen nicht dasselbe Ergebnis liefern.

Hinweis

Ersetzen Sie jede Größe durch ihren Wert nach der Skalenänderung. Der erhaltene Faktor muss für eine Größe, die homogen vom Grad

k

ist,

λ^{k}

lauten. Gehen Sie bei der Kugel von

V = 4 π R^{3} /3

und

A = 4 π R^{2}

aus.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Skalierungsfaktoren multiplizieren sich in einem Produkt und dividieren sich in einem Quotienten. Explizit findet man

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Diese drei Verhältnisse sind vom Grad $0$ , also intensiv. Weiter gilt

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Somit sind $P V$ und $U^{2} / V$ vom Grad $1$ , also extensiv im Sinne des gegebenen Skalierungsgesetzes; $V^{1/3}$ ist vom Grad $1/3$ , also weder extensiv noch intensiv. Der Homogenitätsgrad legt die Einheiten nicht fest: $P V$ wird in Joule angegeben, $U^{2} / V$ dagegen in $J^{2} m^{- 3}$ .

Frage 2.

N

ist eine dimensionslose Zahl, und

k_{B}

wird in

J K^{- 1}

angegeben. Beide Ausdrücke haben daher die Dimension einer Energie. Es gilt jedoch

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Nur $U_{1}$ ist mit der angenommenen Extensivität verträglich. Eine Formel kann also die richtigen Einheiten haben und dennoch falsch von der Systemgröße abhängen. Das schließt nicht jede nicht extensive Energie aus: Erst die in dieser Aufgabe getroffene Annahme schließt $U_{2}$ aus.

Frage 3. Man löst nach dem Radius auf und setzt ihn in die Oberfläche ein:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Also gilt $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : Die Oberfläche ist vom Grad $2/3$ . Division durch $λV$ liefert $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen ist vom Grad $- 1/3$ und nimmt ab, wenn die Kugel wächst.

Frage 4. Für die einzelne Kugel gilt

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Die acht getrennten Kugeln haben dagegen eine Gesamtoberfläche

8 A (V)

. Ihre Gesamtoberfläche ist also doppelt so groß. Die Vergrößerung eines kompakten Objekts erhält seine Form und verringert das relative Gewicht der Grenzflächen. Beim Nebeneinanderstellen bleiben alle Grenzflächen der Kopien erhalten. Bei der Untersuchung von Oberflächenbeiträgen muss die geometrische Operation angegeben werden; gerade diese Beiträge werden in der extensiven Beschreibung des Volumens vernachlässigt.