Integration einer Differentialform entlang eines Weges

Frage 1. Die Funktion $f(x,y)=xy$ ist geeignet, denn $\partial f/\partial x=y$ und $\partial f/\partial y=x$. Frage 2. Für eine durch $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ parametrisierte Kurve gilt

$$\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

Der Weg $\gamma_1$ ist die Vereinigung zweier Strecken. Auf der ersten gilt $x(t)=t$, $y(t)=0$ mit $t\in[0,1]$; somit sind $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ und $\mathrm{d}y=0$. Auf der zweiten gilt $x(t)=1$, $y(t)=t$, ebenfalls mit $t\in[0,1]$; somit sind $\mathrm{d}x=0$ und $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Daher

$$\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1\left(0\times1+t\times0\right)\,\mathrm{d}t +\int_0^1\left(t\times0+1\times1\right)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Für $\gamma_2$ wird die erste Strecke durch $x(t)=0$, $y(t)=t$ und die zweite durch $x(t)=t$, $y(t)=1$ parametrisiert, jeweils mit $t\in[0,1]$. Damit ergibt sich

$$\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1\left(t\times0+0\times1\right)\,\mathrm{d}t +\int_0^1\left(1\times1+t\times0\right)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Die beiden Werte stimmen überein. Dies war ohne Rechnung vorhersehbar: Da $\omega_1=\mathrm{d}f$ mit $f(x,y)=xy$ gilt, hängt das Integral nur von den Endpunkten ab,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Frage 3. Schreiben wir $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Hier sind $A(x,y)=y$ und $B(x,y)=0$. Wäre die Form exakt, so würde das Schwarz-Kriterium liefern

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Es gilt jedoch $\partial A/\partial y=1$, während $\partial B/\partial x=0$ ist. Die gemischten Ableitungen unterscheiden sich; $\omega_2$ ist daher nicht exakt. Sein Integral kann also vom zwischen $O$ und $M$ gewählten Weg abhängen, wie die folgende Rechnung bestätigt.

Frage 4. Da $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ gilt, kann nur eine Änderung von $x$ bei einem von null verschiedenen Wert von $y$ zum Integral beitragen. Mit den vorherigen Parametrisierungen erhält man auf $\gamma_1$

$$\begin{aligned} J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\ &=0. \end{aligned}$$

Auf $\gamma_2$ gilt auf der ersten Strecke $x(t)=0$, also $\mathrm{d}x=0$; auf der zweiten sind $x(t)=t$, $y(t)=1$ und $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Somit

$$\begin{aligned} J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\ &=1. \end{aligned}$$

Die diagonale Strecke $\gamma_3$ wird schließlich parametrisiert durch

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

woraus $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ und $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ folgen. Daher

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

Die drei Wege haben dieselben Endpunkte, liefern aber drei verschiedene Werte: $J_1=0$, $J_2=1$ und $J_3=1/2$. Genau diese Wegabhängigkeit kennzeichnet eine nicht exakte Differentialform.