Gelöste Thermodynamikaufgabe

Integration einer Differentialform entlang eines Weges

Übung 6 · Lektion 4 — Der erste Hauptsatz der Thermodynamik

Differentialform
exaktes Differential
Schwarz-Kriterium
Kurvenintegral

Arbeitsfassung — diese Übung wird noch geprüft.

Aufgabenstellung

Gegeben sind die beiden Differentialformen

\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

und drei Wege vom Ursprung $O(0,0)$ zum Punkt $M(1,1)$ : der Weg $\gamma_1$ besteht aus der horizontalen Strecke $O\to(1,0)$ und anschließend der vertikalen Strecke $(1,0)\to M$ ; der Weg $\gamma_2$ aus der vertikalen Strecke $O\to(0,1)$ und anschließend der horizontalen Strecke $(0,1)\to M$ ; und der Weg $\gamma_3$ ist die gerade Strecke, die $O$ direkt mit $M$ verbindet.

Zeigen Sie durch Angabe einer Funktion $f$ mit $\omega_1=\mathrm{d}f$ , dass $\omega_1$ exakt ist.
Berechnen Sie $\int_{\gamma_1}\omega_1$ und $\int_{\gamma_2}\omega_1$ , indem Sie jede Strecke parametrisieren. Ermitteln Sie das Ergebnis anschließend ohne Rechnung.
Wenden Sie das Schwarz-Kriterium auf $\omega_2$ an. Was folgt daraus?
Berechnen Sie $\int_{\gamma_1}\omega_2$ , $\int_{\gamma_2}\omega_2$ und $\int_{\gamma_3}\omega_2$ . Kommentieren Sie die Ergebnisse.

Hinweis

Auf einer horizontalen Strecke gilt

\mathrm{d}y=0

, auf einer vertikalen Strecke

\mathrm{d}x=0

: Jedes Integral reduziert sich auf ein einfaches Integral.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Funktion

f(x,y)=xy

ist geeignet, denn

\partial f/\partial x=y

und

\partial f/\partial y=x

Frage 2. Für eine durch $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ parametrisierte Kurve gilt

\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

Der Weg $\gamma_1$ ist die Vereinigung zweier Strecken. Auf der ersten gilt $x(t)=t$ , $y(t)=0$ mit $t\in[0,1]$ ; somit sind $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ und $\mathrm{d}y=0$ . Auf der zweiten gilt $x(t)=1$ , $y(t)=t$ , ebenfalls mit $t\in[0,1]$ ; somit sind $\mathrm{d}x=0$ und $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Daher

\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1\left(0\times1+t\times0\right)\,\mathrm{d}t +\int_0^1\left(t\times0+1\times1\right)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Für $\gamma_2$ wird die erste Strecke durch $x(t)=0$ , $y(t)=t$ und die zweite durch $x(t)=t$ , $y(t)=1$ parametrisiert, jeweils mit $t\in[0,1]$ . Damit ergibt sich

\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1\left(t\times0+0\times1\right)\,\mathrm{d}t +\int_0^1\left(1\times1+t\times0\right)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Die beiden Werte stimmen überein. Dies war ohne Rechnung vorhersehbar: Da $\omega_1=\mathrm{d}f$ mit $f(x,y)=xy$ gilt, hängt das Integral nur von den Endpunkten ab,

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Frage 3. Schreiben wir $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ . Hier sind $A(x,y)=y$ und $B(x,y)=0$ . Wäre die Form exakt, so würde das Schwarz-Kriterium liefern

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Es gilt jedoch $\partial A/\partial y=1$ , während $\partial B/\partial x=0$ ist. Die gemischten Ableitungen unterscheiden sich; $\omega_2$ ist daher nicht exakt. Sein Integral kann also vom zwischen $O$ und $M$ gewählten Weg abhängen, wie die folgende Rechnung bestätigt.

Frage 4. Da $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ gilt, kann nur eine Änderung von $x$ bei einem von null verschiedenen Wert von $y$ zum Integral beitragen. Mit den vorherigen Parametrisierungen erhält man auf $\gamma_1$

\begin{aligned} J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\ &=0. \end{aligned}

Auf $\gamma_2$ gilt auf der ersten Strecke $x(t)=0$ , also $\mathrm{d}x=0$ ; auf der zweiten sind $x(t)=t$ , $y(t)=1$ und $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ . Somit

\begin{aligned} J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\ &=1. \end{aligned}

Die diagonale Strecke $\gamma_3$ wird schließlich parametrisiert durch

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

woraus $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ und $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ folgen. Daher

J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1t\,\mathrm{d}t=\frac12.

Die drei Wege haben dieselben Endpunkte, liefern aber drei verschiedene Werte: $J_1=0$ , $J_2=1$ und $J_3=1/2$ . Genau diese Wegabhängigkeit kennzeichnet eine nicht exakte Differentialform.