Grundlegende Begriffe

Die Thermodynamik beschreibt makroskopische Systeme mithilfe einer kleinen Anzahl messbarer Größen wie Temperatur, Druck oder Volumen. Bevor die beiden Hauptsätze der Theorie eingeführt werden, muss geklärt werden, was unter einem thermodynamischen System, einem Gleichgewichtszustand, einer Zustandsvariablen, einer Zustandsfunktion und einer thermodynamischen Zustandsänderung zu verstehen ist.

Diese Lektion führt daher nicht nur den Grundwortschatz der Thermodynamik ein, sondern auch mehrere strukturelle Annahmen, auf denen die Theorie beruht: die Existenz makroskopischer Zustände, die durch wenige Variablen charakterisiert werden, sowie die Struktur des daraus entstehenden Zustandsraums. Diese Begriffe und Annahmen bilden den Rahmen, in dem die beiden Hauptsätze formuliert werden.

1. Thermodynamisches System

In der Thermodynamik beginnt man stets mit der Wahl des zu untersuchenden Systems.

Als System kann man beispielsweise das Gas in einem Behälter wählen; dann fällt die Systemgrenze mit den Behälterwänden zusammen. Die Grenze muss jedoch keine materielle Wand sein. Zur Untersuchung einer Strömung durch eine Turbine oder ein Rohr wählt man häufig einen festen Raumbereich als System. Dieser heißt Kontrollvolumen und wird durch eine rein geometrische Fläche begrenzt, die von Materie durchströmt werden kann.

Die Wahl des Systems ist teilweise willkürlich. Dasselbe Phänomen lässt sich oft mit verschiedenen Systemen beschreiben. In der Praxis legen jedoch die Randbedingungen des Problems häufig eine bestimmte Wahl nahe. Sie werden gewöhnlich in der Aufgabenstellung angegeben oder ergeben sich aus der physikalischen Situation. In jedem Fall muss das gewählte System eindeutig festgelegt werden, bevor physikalische Bilanzgleichungen aufgestellt werden.

Nach der Festlegung des Systems stellt sich zunächst die Frage, was es mit seiner Umgebung austauschen kann. In diesem Kurs treten zwei Hauptarten des Austauschs auf: der Austausch von Materie und der Austausch von Energie, insbesondere in Form von Wärme oder Arbeit. Danach unterscheidet man drei Arten von Systemen.

Die vierte logisch denkbare Kategorie—ein System, das Materie, aber keine Energie mit seiner Umgebung austauscht—ist physikalisch sinnlos: Materie, die die Grenze überschreitet, führt zwangsläufig Energie mit sich.

Ein Gas in einem Zylinder mit Kolben ist beispielsweise ein geschlossenes System: Keine Moleküle durchdringen die Wände, aber das Gas kann Wärme aufnehmen oder durch die Bewegung des Kolbens Arbeit verrichten.

Ein offener Topf mit siedendem Wasser ist dagegen ein offenes System, weil Dampf entweicht und Wärme von der Kochplatte aufgenommen werden kann.

Ein vollkommen isoliertes System ist stets eine Idealisierung. Eine verschlossene Thermoskanne ist für eine gewisse Zeit eine gute Näherung. In Wirklichkeit kann kein System vollkommen isoliert werden, denn selbst im Vakuum kann elektromagnetische Strahlung Energie zum System hin oder von ihm weg transportieren; siehe Lektion 12 zur Thermodynamik der Strahlung.

2. Grenzen, Wände und Zwangsbedingungen

Die Eigenschaften der Systemgrenze bestimmen, welcher Austausch zwischen System und Umgebung möglich ist. Verschiedene Randbedingungen können aus demselben Anfangszustand zu völlig unterschiedlichen thermodynamischen Entwicklungen führen.

Mit anderen Worten: Das System allein zu kennen genügt nicht; auch die an seiner Grenze auferlegten Zwangsbedingungen müssen bekannt sein. Besteht die Grenze aus einer materiellen Wand, unterscheidet man mehrere typische Fälle.

• Eine Wand kann starr oder beweglich sein. Eine starre Wand legt die Geometrie des Systems fest. Eine bewegliche Wand kann sich dagegen infolge unterschiedlicher Druckkräfte auf ihren beiden Seiten verschieben.
• Eine Wand heißt diatherm oder diatherman, wenn sie Wärmeaustausch zulässt, und adiabatisch, wenn sie ihn verhindert. Man kann auch von thermischer Isolierung sprechen; adiabatisch ist jedoch genauer, da dies nicht nur Wärmeleitung umfasst: Eine adiabatische Wand verhindert jede thermische Energieübertragung durch Leitung, Konvektion oder Strahlung.
• Eine Wand kann für Materie durchlässig oder undurchlässig sein. Sie kann auch semipermeabel sein, also bestimmte chemische Spezies hindurchlassen und andere zurückhalten.

Abbildung 1 fasst die möglichen Austauschvorgänge mit der Umgebung, die drei Systemarten und die wichtigsten durch die Systemgrenze auferlegten Zwangsbedingungen zusammen.

Diese Eigenschaften bilden Zwangsbedingungen, die bestimmen, welche thermodynamischen Vorgänge möglich sind. Betrachten wir beispielsweise zwei Gase, die durch eine starre Wand getrennt sind. Ihre Drücke können verschieden sein, ohne dass etwas geschieht, da die Wand jede Bewegung verhindert. Wird sie durch einen beweglichen Kolben ersetzt, setzt der Druckunterschied den Kolben in Bewegung.

Ebenso können zwei durch eine adiabatische Wand getrennte Körper unterschiedliche Temperaturen behalten. Wird die Wand jedoch diatherm, findet Wärmeübertragung statt, bis sich ein neues Gleichgewicht einstellt.

Schließlich können zwei Lösungen, die dieselbe chemische Spezies in unterschiedlichen Konzentrationen enthalten, diesen Unterschied behalten, wenn sie durch eine für diese Spezies undurchlässige Membran getrennt sind. Wird die Membran dagegen für sie durchlässig, können die Teilchen die Grenze überschreiten und von einem Bereich in den anderen diffundieren, bis sich ein neues Gleichgewicht einstellt. Im einfachsten Fall, wenn beide Medien ansonsten gleichwertig sind, entspricht dieses Gleichgewicht gleichen Konzentrationen auf beiden Seiten.

Häufig ist es zweckmäßig, einem System bestimmte äußere Bedingungen aufzuerlegen, ohne die Vorrichtung, die sie erzeugt, im Einzelnen zu beschreiben. So kann man etwa ein System untersuchen wollen, das unter allen Umständen auf konstanter Temperatur gehalten wird. In der Praxis kann es dazu in einen Ofen, einen Kühlschrank oder ein Wasserbad gebracht werden.

Formal bedeutet dies, der Umgebung, mit der das System wechselwirkt, bestimmte Eigenschaften zuzuschreiben. Ein Reservoir ist ein System, das so groß ist, dass einige seiner Parameter trotz des Austauschs mit dem untersuchten System als konstant betrachtet werden können.

Ein Wärmereservoir oder Thermostat ist ein Reservoir, dessen Temperatur praktisch konstant bleibt, wenn es eine angemessene Wärmemenge aufnimmt oder abgibt. Taucht man beispielsweise einen kleinen Körper in einen großen See, kann der See mit sehr guter Näherung als Thermostat betrachtet werden.

Ebenso kann die Atmosphäre in vielen Situationen als mechanisches Reservoir angesehen werden, das einen annähernd konstanten Druck vorgibt. Man spricht dann mitunter von einem Druckreservoir. In Aufgaben wird dies häufig der Fall sein.

Später werden wir auch Teilchenreservoire kennenlernen, die ein chemisches Potential vorgeben können.

3. Thermodynamisches Gleichgewicht

Der Gleichgewichtsbegriff steht im Mittelpunkt der klassischen Thermodynamik. Die im Folgenden entwickelte Theorie beschreibt vor allem Gleichgewichtszustände und Vorgänge, die solche Zustände verbinden.

Dieser Begriff ist zunächst phänomenologischen Ursprungs. Die Erfahrung zeigt, dass ein System unter fest vorgegebenen äußeren Bedingungen nach einer gewissen Zeit gewöhnlich einen Zustand erreicht, in dem keine makroskopische Entwicklung mehr beobachtbar ist.

Betrachten wir beispielsweise einen Metallwürfel, der lange in einem Raum gelegen hat. Seine Temperatur ändert sich makroskopisch nicht mehr wahrnehmbar. Stellen wir ihn nun in einen heißen Ofen. Damit wurden die an seiner Grenze vorgegebenen Bedingungen geändert und das System entwickelt sich erneut: Seine Temperatur steigt allmählich an. Nach einer gewissen Zeit endet auch diese Entwicklung und ein neuer stabiler Zustand ist erreicht.

Das System ist in einen neuen Gleichgewichtszustand relaxiert. Die hierfür benötigte Zeit heißt Relaxationszeit; sie hängt vom System und von den beteiligten physikalischen Vorgängen ab. In manchen Fällen ist sie sehr kurz, in anderen sehr lang.

Dies führt zu folgender Definition.

Thermodynamisches Gleichgewicht bedeutet somit nicht, dass jeder Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsunterschied zwangsläufig verschwunden ist. Es bedeutet, dass unter den auferlegten Zwangsbedingungen keine spontane makroskopische Entwicklung möglich ist. Ein Beispiel wurde bereits genannt: Zwei Gasvolumina unterschiedlichen Drucks, die durch eine starre Wand getrennt sind, können unter dieser Zwangsbedingung einen Gleichgewichtszustand bilden.

Ein Gleichgewichtszustand ist also stets relativ zu den Zwangsbedingungen des Systems definiert. Wird eine davon aufgehoben, kann der Zustand für das neue thermodynamische Problem augenblicklich aufhören, ein Gleichgewichtszustand zu sein. Der zweite Hauptsatz wird später diese Tendenz zum Gleichgewicht allgemein formulieren und die Charakterisierung von Gleichgewichtszuständen ermöglichen.

Schließlich muss ein Gleichgewichtszustand von einem stationären Zustand unterschieden werden. In einem stationären Zustand hängen die makroskopischen Größen nicht mehr von der Zeit ab; dennoch können dauerhafte Flüsse bestehen.

Das klassische Beispiel ist ein Metallstab, dessen Enden auf unterschiedlichen Temperaturen gehalten werden. Nach einer gewissen Zeit ist das Temperaturprofil im Stab zeitunabhängig, doch fließt fortwährend Wärme vom heißen zum kalten Ende. Dieses System befindet sich nicht im Gleichgewicht; deshalb verlangt die Gleichgewichtsdefinition auch das Fehlen makroskopischer Flüsse. Darunter versteht man beispielsweise einen Wärme- oder Materiefluss.

4. Makroskopische Zustände und Zustandsvariablen

Als Nächstes stellt sich die Frage, wie Gleichgewichtszustände quantitativ beschrieben werden können.

4.1. Zustandsvariablen

Ein makroskopisches System besitzt ungeheuer viele mikroskopische Freiheitsgrade. Ein Liter Gas enthält beispielsweise etwa $10^{23}$ Moleküle. Eine vollständige mechanische Beschreibung würde grundsätzlich Ort und Geschwindigkeit jedes einzelnen Moleküls erfordern. Die Thermodynamik nimmt dennoch an, dass diese mikroskopische Information im Gleichgewicht durch sehr wenige makroskopische Größen ersetzt werden kann. Wir nennen sie Zustandsvariablen, weil sie den makroskopischen Zustand charakterisieren.

Die bekanntesten Beispiele sind Volumen $V$, Druck $P$, Temperatur $T$ und Teilchenzahl $N$. Der erste Hauptsatz wird eine weitere Größe einführen, die innere Energie $U$, und der zweite Hauptsatz noch eine andere, die Entropie $S$. Vorläufig nehmen wir an, dass diese beiden Größen existieren und den makroskopischen Zustand des Systems charakterisieren.

Die bemerkenswerte Tragweite dieses Postulats wurde in der allgemeinen Einleitung betont. In den üblichen Formulierungen des ersten und zweiten Hauptsatzes wird es nicht ausdrücklich genannt, obwohl es wesentlich ist und ihnen logisch vorausgeht. Temperatur und Druck sind keine mikroskopischen Koordinaten der Teilchen, sondern emergente Größen, die erst auf makroskopischer Skala relevant werden.

4.2. Extensive und intensive Variablen

Diese Zustandsvariablen lassen sich in zwei große Gruppen einteilen.

Volumen $V$, Masse $m$ und Teilchenzahl $N$ sind extensive Größen. Im Allgemeinen nehmen wir außerdem an, dass innere Energie $U$ und Entropie $S$ extensiv sind (siehe die folgende Bemerkung).

Temperatur $T$, Druck $P$ und chemisches Potential $\mu$ sind dagegen intensive Größen. Das chemische Potential wird später eingeführt.

4.3. Algebra der Extensivität

Extensive und intensive Größen gehorchen einer einfachen Algebra. Sie lässt sich mithilfe homogener Funktionen formalisieren.

Extensive Größen sind somit homogen vom Grad $1$, intensive Größen vom Grad $0$.

Mit dieser Definition können Größen unmittelbar kombiniert werden. Ist $X$ homogen vom Grad $k$ und $Y$ vom Grad $k'$, so ist $XY$ homogen vom Grad $k+k'$ und $X/Y$ vom Grad $k-k'$.

Das Verhältnis $V/N$ ist beispielsweise homogen vom Grad $0$ und somit intensiv; es ist das Volumen pro Teilchen. Ebenso ist die Teilchendichte $N/V$ intensiv.

Diese Eigenschaft ermöglicht eine Konsistenzprüfung thermodynamischer Gleichungen. Neben der üblichen Dimensionsanalyse muss eine Gleichung auch mit der Extensivität verträglich sein: Beide Seiten müssen sich bei einer Änderung der Systemgröße gleich transformieren. Eine extensive und eine intensive Variable zu addieren, ist beispielsweise sinnlos. Man sollte sich angewöhnen, dies zumindest beim Endergebnis einer Rechnung zu überprüfen.

Überprüfen Sie als Übung, dass die ideale Gasgleichung $PV = N k_{\mathrm B}T$ beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist $N$ die Teilchenzahl. Die Beziehung kann auch mit der Stoffmenge $n$ geschrieben werden, wobei $N=\mathcal N_A n$ und $\mathcal N_A$ die Avogadro-Konstante ist. Aus $R=\mathcal N_A k_{\mathrm B}$ folgt dann die übliche Form $PV=nRT$.

5. Der Raum der Gleichgewichtszustände

Das eben Postulierte lässt sich zweckmäßig mathematisch formulieren. Mit $\mathcal E$ bezeichnen wir die Menge der für das betrachtete System erreichbaren Gleichgewichtszustände. Ein Zustand kann durch endlich viele unabhängige Variablen

vollständig bestimmt werden. Die $x^i$ können beispielsweise Temperatur, Druck oder Volumen darstellen. Diese Zustandsvariablen dienen als Koordinaten auf dem Raum $\mathcal E$.

Die Variablen müssen unabhängig sein. Die verschiedenen Zustandsvariablen eines Systems sind nämlich gewöhnlich durch Zustandsgleichungen miteinander verknüpft. Die ideale Gasgleichung ist ein Beispiel; der folgende Abschnitt präzisiert diesen Punkt.

Wir nehmen außerdem an, dass die thermodynamischen Größen hinreichend glatt von diesen Koordinaten abhängen, sodass Differentialrechnung verwendet werden kann. Mathematisch wird $\mathcal E$ damit als endlichdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit modelliert.

Diese Formulierung mag abstrakt erscheinen, macht aber nur eine Annahme ausdrücklich, die viele Bücher stillschweigend verwenden, wenn sie Größen wie $dT$, $dV$ oder $dP$ schreiben, ohne die mathematische Struktur näher zu erläutern, die solche Notationen ermöglicht.

Diese geometrische Konstruktion erlaubt vor allem, die Abhängigkeit zwischen thermodynamischen Variablen und den Begriff der Zustandsfunktion präzise zu formulieren. Außerdem erklärt sie, weshalb die zwischen Anfangs- und Endzustand ausgetauschte Arbeit und Wärme vom gewählten Weg abhängen, Änderungen der inneren Energie oder Entropie hingegen nicht (siehe die folgenden Abschnitte).

6. Zustandsgleichungen

Wir haben die Menge $\mathcal E$ der Gleichgewichtszustände als endlichdimensionale Mannigfaltigkeit modelliert. Nun ist zu klären, wodurch ihre Dimension bestimmt wird. Ein System kann durch viele Zustandsvariablen beschrieben werden, doch sind diese gewöhnlich nicht alle unabhängig: Bestimmte Beziehungen verknüpfen sie.

Betrachten wir ein ideales Gas. In der vorigen Lektion wurde gezeigt, dass seine Variablen im Gleichgewicht

erfüllen. Bei fester Stoffmenge $n$ genügen $V$ und $T$, um $P=nRT/V$ zu bestimmen. $P$, $V$ und $T$ sind zwar sämtlich Zustandsvariablen, doch nur zwei können unabhängig gewählt werden.

Für die ideale Gasgleichung gilt somit

Eine Zustandsgleichung verringert also die Zahl der frei wählbaren Variablen. Bei einem idealen Gas in einem geschlossenen System ist beispielsweise die Stoffmenge $n$ fest; $PV=nRT$ definiert eine Fläche im abstrakten Koordinatenraum $(P,V,T)$. Der physikalische Raum der Gleichgewichtszustände des idealen Gases hat dann Dimension $2$ statt $3$.

Als Koordinaten kann etwa $(V,T)$ gewählt werden; ebenso möglich sind $(P,T)$ oder $(P,V)$. Keine Wahl ist physikalischer als eine andere: Es handelt sich lediglich um verschiedene Koordinatensysteme desselben Gleichgewichtszustandsraums.

Allgemein können bei $q$ Zustandsvariablen, die durch $r$ unabhängige Beziehungen verknüpft sind, nur $d=q-r$ Variablen frei gewählt werden. Diese Zahl $d$ ist genau die Dimension der Mannigfaltigkeit $\mathcal E$. Später werden wir lernen, sie systematisch zu bestimmen.

7. Zustandsfunktionen

Nach der Definition des Zustandsraums können wir einen ständig benötigten Begriff einführen.

Werden auf $\mathcal E$ unabhängige Koordinaten $x^1,...,x^d$ gewählt, kann man $f=f(x^1,...,x^d)$ schreiben.

Innere Energie $U$ und Entropie $S$ werden die beiden wichtigsten Zustandsfunktionen der Thermodynamik sein.

Das Differential einer Zustandsfunktion lautet

Zwischen zwei Gleichgewichtszuständen $A$ und $B$ ist ihre Änderung

Können $A$ und $B$ durch einen mathematischen Weg $\gamma$ im Zustandsraum $\mathcal E$ verbunden werden, so gilt

Diese Gleichung gilt für jeden Weg $\gamma$ von $A$ nach $B$; das Integral ist also vom gewählten Weg unabhängig. $df$ heißt ein exaktes Differential. Der hier eingeführte Weg $\gamma$ ist ein mathematisches Objekt und stellt nicht notwendig die tatsächliche physikalische Entwicklung des Systems dar. Im nächsten Abschnitt wird erläutert, wann eine thermodynamische Zustandsänderung selbst durch einen Weg in $\mathcal E$ dargestellt werden kann.

Diese Eigenschaft unterscheidet insbesondere innere Energie von Wärme und Arbeit. Wärme und Arbeit sind keine im System enthaltenen Größen, sondern Energieübertragungen während einer Zustandsänderung.

Ihr Wert hängt daher davon ab, wie die Zustandsänderung zwischen Anfangs- und Endzustand durchgeführt wird. Wir schreiben deshalb

für die elementaren Wärme- und Arbeitsmengen, die das System aufnimmt, um sie von exakten Differentialen von Zustandsfunktionen wie

zu unterscheiden. Das Symbol $\delta$ zeigt an, dass $\delta Q$ und $\delta W$ keine Differentiale von Zustandsfunktionen sind. Wärme und Arbeit werden in Lektion 4, die Entropie in Lektion 6 genau definiert.

8. Thermodynamische Zustandsänderungen

Wie wir gesehen haben, hängen manche Größen, etwa Wärme und Arbeit, davon ab, auf welche Weise das System von einem Zustand in einen anderen übergeht. Daher muss der Begriff thermodynamische Zustandsänderung präzisiert werden.

Eine thermodynamische Zustandsänderung ist jeder Vorgang, bei dem ein System von einem anfänglichen Gleichgewichtszustand in einen abschließenden Gleichgewichtszustand übergeht.

Während einer Zustandsänderung befindet sich das System nicht notwendigerweise im Gleichgewicht. Temperatur oder Druck können beispielsweise von Ort zu Ort variieren oder sogar überhaupt nicht definiert sein.

Die gesamte Entwicklung darf daher nicht als Weg im Raum $\mathcal E$ der Gleichgewichtszustände dargestellt werden. Nur Anfangs- und Endzustand gehören notwendig zu diesem Raum.

8.1. Quasistatische Zustandsänderungen

Eine Klasse von Zustandsänderungen spielt in der Thermodynamik eine zentrale Rolle: die quasistatischen Zustandsänderungen.

Konkret müssen die äußeren Zwangsbedingungen dafür im Vergleich zu den charakteristischen Relaxationszeiten des Systems hinreichend langsam geändert werden.

Entlang des gesamten Weges kann dann eine Folge infinitesimal benachbarter Zustände

betrachtet und

beispielsweise

geschrieben werden. Der quasistatische Charakter der Zustandsänderung erlaubt es, während ihrer gesamten Entwicklung die Differentialrechnung anzuwenden. Zustandsvariablen und sämtliche Zustandsfunktionen sind dann in jedem Stadium definiert, und ihre infinitesimalen Änderungen können entlang des in $\mathcal E$ durchlaufenen Weges bestimmt werden.

Die Abbildungen 2 und 3 zeigen zwei Aspekte dieser Konstruktion. Die erste stellt einer quasistatischen Zustandsänderung, die einem Weg in $\mathcal E$ folgt, eine nicht quasistatische Zustandsänderung (zum Beispiel eine plötzliche) gegenüber, deren Zwischenzustände nicht notwendig Gleichgewichtszustände sind. Die zweite vergleicht zwei quasistatische Zustandsänderungen auf verschiedenen Wegen zwischen denselben Zuständen $A$ und $B$: Die Änderung einer Zustandsfunktion ist auf beiden Wegen gleich, während ausgetauschte Wärme und Arbeit verschieden sein können.

8.2. Besondere Zustandsänderungen

Bestimmte Zustandsänderungen treten in der Thermodynamik immer wieder auf und erhalten daher besondere Namen. Bezieht sich eine Definition auf eine Größe des Systems, wird vorausgesetzt, dass diese während der gesamten Zustandsänderung definiert ist.

• Eine Zustandsänderung, bei der das System mit einer Umgebung konstanter Temperatur in Kontakt steht, $T_{\rm ext}=\mathrm{const}$, heißt monotherm.
• Eine Zustandsänderung unter konstantem Außendruck, $P_{\rm ext}=\mathrm{const}$, heißt monobar.
• Eine Zustandsänderung bei konstanter Systemtemperatur, $T_{\rm sys}=\mathrm{const}$, heißt isotherm.
• Eine Zustandsänderung bei konstantem Systemdruck, $P_{\rm sys}=\mathrm{const}$, heißt isobar.
• Eine Zustandsänderung bei konstantem Volumen, $V=\mathrm{const}$, heißt isochor. Dies gilt insbesondere für ein System in einem starren Behälter.
• Eine Zustandsänderung ohne Wärmeaustausch, $\delta Q=0$ während der gesamten Zustandsänderung, heißt adiabatisch. Sie kann idealisiert mithilfe adiabatischer Wände durchgeführt werden.
• Eine Zustandsänderung bei konstanter Entropie, $dS=0$ während der gesamten Zustandsänderung, heißt isentrop. Insbesondere gilt zwischen Anfangs- und Endzustand $\Delta S=0$. Eine adiabatische Zustandsänderung ist nicht notwendigerweise isentrop, wie wir später sehen werden.
• Eine Zustandsänderung bei konstanter innerer Energie, $dU=0$ während der gesamten Zustandsänderung, heißt isoenergetisch. Insbesondere gilt zwischen Anfangs- und Endzustand $\Delta U=0$.
• Eine Zustandsänderung, deren Endzustand mit dem Anfangszustand identisch ist, heißt zyklisch.

Eine monotherme Zustandsänderung ist unter der Bedingung des thermischen Gleichgewichts isotherm: Bleibt das System über eine diatherme Wand zu jedem Zeitpunkt im thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung, so gilt $T_{\rm sys}=T_{\rm ext}$ während der gesamten Zustandsänderung. Ebenso macht eine bewegliche Wand, die mechanisches Gleichgewicht ermöglicht, eine monobare Zustandsänderung isobar.

Die letzte Kategorie wird für die Untersuchung von Wärmekraftmaschinen besonders wichtig sein.

9. Literaturhinweise

Für eine klassische und systematische Darstellung der Thermodynamik siehe insbesondere Diu et al. ^[1] und Callen ^[2].