Gelöste Thermodynamikaufgabe

Übungsaufgabe: Laplace-Gleichungen

Übung 18 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

Übungsaufgabe
Laplace-Gleichung
Adiabatenexponent
Gamma
adiabatische Expansion
erster Hauptsatz in differentieller Form

Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines idealen Gases mit dem als konstant angenommenen Adiabatenexponenten $γ = c_{P} / c_{V}$ . Das System sei geschlossen. Die Mayer-Beziehung $c_{P} - c_{V} = R$ wird als bekannt vorausgesetzt (siehe die Aufgabe zur Herleitung von $c_{P}$ ).

Zeigen Sie, dass $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Das Gas erfährt eine quasistatische adiabatische Zustandsänderung, für die $P_{ext} = P$ angenommen wird. Zeigen Sie ausgehend vom ersten Hauptsatz in differentieller Form, dass $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ und folgern Sie daraus, dass entlang der Zustandsänderung $T V^{γ - 1} = konst.$ gilt.
Leiten Sie daraus die beiden anderen Formen der Laplace-Gleichung her: $P V^{γ} = konst.$ und $T^{γ} P^{1 - γ} = konst.$ .
Bei einer solchen Expansion verdoppelt sich das Volumen eines einatomigen Gases ( $γ = 5/3$ ) mit $n = 1$ mol und der Anfangstemperatur $T_{i} = 300$ K. Berechnen Sie $T_{f}$ , anschließend $Δ T$ und $W$ , und kommentieren Sie die Vorzeichen von $Δ T$ und $W$ .
Vergleichen Sie im Clapeyron-Diagramm $(P, V)$ in demselben Punkt die Steigung einer solchen Adiabate mit der einer Isotherme.

Hinweis

Für Frage 2:

d U = n c_{V} d T

und

δ W = - P d V

mit

P = n R T / V

; trennen Sie anschließend die Variablen. Differenzieren Sie für Frage 5

P V^{γ} = konst.

und

P V = konst.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Aus

c_{P} = γ c_{V}

und

c_{P} - c_{V} = R

folgt

c_{V} (γ - 1) = R

und damit ergeben sich die beiden Formeln. Frage 2. Adiabatische Zustandsänderung:

δ Q = 0

, daher

d U = δ W

, also

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Mit

c_{V} = R / (γ - 1)

gilt:

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Durch Integration erhält man $ln T + (γ - 1) ln V = konst.$ , das heißt $T V^{γ - 1} = konst.$ .

Frage 3. Einsetzen von

T = P V / (n R)

ergibt

P V^{γ} = konst.

, da

n

konstant ist. Einsetzen von

V = n R T / P

ergibt

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = konst.

und somit

T^{γ} P^{1 - γ} = konst.

. Frage 4. Am einfachsten verwendet man die Laplace-Gleichung

T V^{γ - 1} = konst.

. Aus ihr folgt

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

und damit

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Dabei ist unbedingt die Temperatur in Kelvin einzusetzen, um einen Fehler zu vermeiden! Daraus folgt

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Da

Q = 0

gilt, ist die Arbeit

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : Das Gas verrichtet während der Expansion Arbeit an der Umgebung. Da es die dafür erforderliche Energie keiner Wärmequelle entnehmen kann ( $Q = 0$ ), greift es auf seine innere Energie zurück; daher die Abkühlung $Δ T < 0$ .

Frage 5. Durch Differenzieren von

P V = konst.

erhält man

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Durch Differenzieren von

P V^{γ} = konst.

erhält man

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. Die Adiabate ist um den Faktor

γ

steiler als die Isotherme: Bei einer Kompression ohne Wärmeabfuhr steigt der Druck schneller an, weil gleichzeitig die Temperatur zunimmt.