Gelöste Thermodynamikaufgabe

Übungsaufgabe: Laplace-Gleichungen

Übung 10 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

Übungsaufgabe
Laplace-Gleichung
Adiabatenexponent
Gamma
adiabatische Expansion
erster Hauptsatz in differentieller Form

Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines idealen Gases mit dem als konstant angenommenen Adiabatenexponenten $\gamma = c_P/c_V$ . Das System sei geschlossen. Die Mayer-Beziehung $c_P - c_V = R$ wird als bekannt vorausgesetzt (siehe die Aufgabe zur Herleitung von $c_P$ ).

Zeigen Sie, dass $c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.$
Das Gas erfährt eine quasistatische adiabatische Zustandsänderung, für die $P_{\text{ext}} = P$ angenommen wird. Zeigen Sie ausgehend vom ersten Hauptsatz in differentieller Form, dass $\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0,$ und folgern Sie daraus, dass entlang der Zustandsänderung $TV^{\gamma-1} = \text{konst.}$ gilt.
Leiten Sie daraus die beiden anderen Formen der Laplace-Gleichung her: $PV^\gamma = \text{konst.}$ und $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{konst.}$ .
Bei einer solchen Expansion verdoppelt sich das Volumen eines einatomigen Gases ( $\gamma = 5/3$ ) mit $n = 1$ mol und der Anfangstemperatur $T_i = 300$ K. Berechnen Sie $T_f$ , anschließend $\Delta T$ und $W$ , und kommentieren Sie die Vorzeichen von $\Delta T$ und $W$ .
Vergleichen Sie im Clapeyron-Diagramm $(P,V)$ in demselben Punkt die Steigung einer solchen Adiabate mit der einer Isotherme.

Hinweis

Für Frage 2:

\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T

und

\delta W = -P\,\mathrm{d}V

mit

P = nRT/V

; trennen Sie anschließend die Variablen. Differenzieren Sie für Frage 5

PV^\gamma = \text{konst.}

und

PV = \text{konst.}

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Aus

c_P = \gamma c_V

und

c_P - c_V = R

folgt

c_V(\gamma - 1) = R

und damit ergeben sich die beiden Formeln.

Frage 2. Adiabatische Zustandsänderung: $\delta Q = 0$ , daher $\mathrm{d}U = \delta W$ , also $n c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V$ . Mit $c_V = R/(\gamma-1)$ gilt:

\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Durch Integration erhält man $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{konst.}$ , das heißt $TV^{\gamma-1} = \text{konst.}$ .

Frage 3. Einsetzen von $T = PV/(nR)$ ergibt $PV^\gamma = \text{konst.}$ , da $n$ konstant ist. Einsetzen von $V = nRT/P$ ergibt $T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{konst.}$ und somit $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{konst.}$ .

Frage 4. Am einfachsten verwendet man die Laplace-Gleichung $T V^{\gamma - 1} = \text{konst.}$ . Aus ihr folgt $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$ und damit $T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189$ K. Dabei ist unbedingt die Temperatur in Kelvin einzusetzen, um einen Fehler zu vermeiden! Daraus folgt $\Delta T = T_f-T_i \approx -111$ K. Da $Q = 0$ gilt, ist die Arbeit

W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

$W < 0$ : Das Gas verrichtet während der Expansion Arbeit an der Umgebung. Da es die dafür erforderliche Energie keiner Wärmequelle entnehmen kann ( $Q=0$ ), greift es auf seine innere Energie zurück; daher die Abkühlung $\Delta T < 0$ .

Frage 5. Durch Differenzieren von $PV = \text{konst.}$ erhält man $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}$ . Durch Differenzieren von $PV^\gamma = \text{konst.}$ erhält man $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}$ . Die Adiabate ist um den Faktor $\gamma$ steiler als die Isotherme: Bei einer Kompression ohne Wärmeabfuhr steigt der Druck schneller an, weil gleichzeitig die Temperatur zunimmt.