Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines einatomigen idealen Gases mit der inneren Energie $U=\frac{3}{2}nRT$ . Der Zustand $A(T_1,V_1)$ wird auf zwei quasistatischen Wegen mit dem Zustand $B(T_2,V_2)$ verbunden, wobei zu jedem Zeitpunkt $P_{\mathrm{ext}}=P$ gilt:

$\Gamma_1$ : eine isotherme Expansion bei $T_1$ von $V_1$ auf $V_2$ , gefolgt von einer isochoren Zustandsänderung bei $V_2$ von $T_1$ auf $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : eine isochore Zustandsänderung bei $V_1$ von $T_1$ auf $T_2$ , gefolgt von einer isothermen Expansion bei $T_2$ von $V_1$ auf $V_2$ .

Stellen Sie für den Fall $T_2>T_1$ und $V_2>V_1$ die Wege $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ im Clapeyron-Diagramm $(P,V)$ dar. Geben Sie die Zwischenzustände und die Durchlaufrichtung an.
Berechnen Sie die aufgenommene Arbeit $W_1$ und $W_2$ entlang der beiden Wege. Welchen Wert hat ihre Differenz $W_1-W_2$ ?
Bestimmen Sie $W_1-W_2$ geometrisch und ohne die beiden Integrale erneut einzeln zu berechnen aus der Fläche zwischen den beiden Wegen im Clapeyron-Diagramm.
Berechnen Sie $\Delta U$ entlang der beiden Wege und leiten Sie daraus $Q_1$ und $Q_2$ her. Welche Schlussfolgerung ergibt sich für $\delta Q$ ?
Numerische Anwendung: $n=1$ mol, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K und $V_2=2V_1$ .

Hinweis

Im Clapeyron-Diagramm ist eine Isochore eine vertikale Linie, und für die Isotherme eines idealen Gases gilt

P=nRT/V

. Die Isotherme mit der Temperatur

T_2

liegt oberhalb derjenigen mit der Temperatur

T_1

. Eine Isochore trägt nicht zur Druckarbeit bei. Für Frage 3 ist zu beachten, dass die aufgenommene Arbeit das Negative der algebraischen Fläche unter dem Weg im Diagramm

(P,V)

ist.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Der Zwischenzustand des Weges

\Gamma_1

werde mit

C

und derjenige des Weges

\Gamma_2

mit

D

bezeichnet. Ihre Drücke und Volumina sind

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Da $T_2>T_1$ gilt, liegt die Isotherme $T_2$ oberhalb der Isotherme $T_1$ . Der Weg $\Gamma_1$ verläuft von $A$ nach $C$ , nach rechts entlang der unteren Isotherme $T_1$ , und anschließend vertikal von $C$ nach $B$ entlang der Isochore $V_2$ . Der Weg $\Gamma_2$ verläuft zunächst vertikal von $A$ nach $D$ entlang der Isochore $V_1$ und anschließend nach rechts von $D$ nach $B$ entlang der oberen Isotherme $T_2$ . Die Pfeilrichtungen der beiden Wege lauten somit

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Die Wege _1 und _2 im Clapeyron-Diagramm. Die grauen Kurven stellen die Verlängerungen der Isothermen T_1 und T_2 dar. — Abbildung 1. Die Wege $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ im Clapeyron-Diagramm. Die grauen Kurven stellen die Verlängerungen der Isothermen $T_1$ und $T_2$ dar.

Frage 2. Mit der Konvention der vom Gas aufgenommenen Arbeit gilt $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Eine Isochore trägt nicht bei, und auf einer Isotherme mit der Temperatur $T$ gilt

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Damit erhält man

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

und anschließend

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Anfangs- und Endzustand sind identisch, doch die Arbeiten unterscheiden sich: $\delta W$ ist kein exaktes Differential.

Frage 3. Die Isochoren überstreichen keine Fläche. Da die aufgenommene Arbeit das Negative der Fläche unter der Kurve ist, entspricht die Differenz $W_1-W_2$ der Fläche zwischen den Isothermen $T_2$ und $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Damit ergibt sich erneut das Ergebnis aus Frage 2.

Frage 4. Die innere Energie des einatomigen idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Ihre Änderung ist daher auf beiden Wegen gleich:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Aus dem ersten Hauptsatz $\Delta U=W+Q$ folgt $Q=\Delta U-W$ und damit

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Somit gilt

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Auch die ausgetauschte Wärme hängt vom Weg ab: $\delta Q$ ist kein exaktes Differential, im Gegensatz zu $\mathrm{d}U$ .

Frage 5. Mit $\ln 2\simeq0{,}693$ gilt

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Das Gas verrichtet entlang $\Gamma_2$ doppelt so viel Arbeit und nimmt die entsprechende zusätzliche Wärme auf.