Gelöste Thermodynamikaufgabe

Übungsaufgabe: elementare Zustandsänderungen

Übung 9 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

Übungsaufgabe
einatomiges ideales Gas
isochore Zustandsänderung
isotherme Zustandsänderung
isobare Zustandsänderung
innere Energie
Arbeit
Wärme
erster Hauptsatz

Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines einatomigen idealen Gases, das sich anfangs im Zustand $A(P_A,V_A,T_i)$ befindet. Unabhängig voneinander werden drei quasistatische Zustandsänderungen untersucht, die alle in $A$ beginnen, wobei $T_f>T_i$ gilt:

$A\to B$ : isochore Erwärmung von $T_i$ auf $T_f$ ;
$A\to C$ : isotherme Kompression bei $T_i$ von $V_A$ auf $V_A/2$ ;
$A\to D$ : isobare Erwärmung von $T_i$ auf $T_f$ .

Es gilt die Bankierkonvention: Vom Gas aufgenommene Energieübertragungen sind positiv.

Stellen Sie die drei Zustandsänderungen in einem gemeinsamen Clapeyron-Diagramm $(P,V)$ dar und bestimmen Sie formal die Zustände $B$ , $C$ und $D$ .
Berechnen Sie formal $W$ , $\Delta U$ und $Q$ für jede der drei Zustandsänderungen.
Kommentieren Sie die Vorzeichen der Energieübertragungen.
Numerische Anwendung: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ und $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Hinweis

Für ein einatomiges ideales Gas gilt

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Verwenden Sie

W=-\int P\,\mathrm{d}V

und den ersten Hauptsatz

\Delta U=Q+W

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die ideale Gasgleichung liefert

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Zustand} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

Im Diagramm $(P,V)$ ist $A\to B$ eine vertikale Linie, $A\to C$ verläuft auf der Isotherme $T_i$ nach links und $A\to D$ ist eine horizontale Linie nach rechts.

Frage 2.

Isochore Erwärmung $A\to B$ . Da $\mathrm{d}V=0$ gilt,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Isotherme Kompression $A\to C$ . Die Temperatur ist konstant, also gilt $\Delta U_{AC}=0$ . Außerdem ist

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Isobare Erwärmung $A\to D$ . Bei konstantem Druck gilt $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , somit

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Frage 3. Bei der isochoren Zustandsänderung erhöht die gesamte aufgenommene Wärme die innere Energie. Während der isothermen Kompression nimmt das Gas Arbeit auf und gibt genau dieselbe Energiemenge in Form von Wärme ab. Bei der isobaren Zustandsänderung nimmt das Gas Wärme auf, erhöht seine innere Energie und verrichtet bei seiner Expansion Arbeit.

Frage 4. Mit $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ gilt:

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Zustandsänderung} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Isochor }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Isotherm }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Isobar }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}