Gelöste Thermodynamikaufgabe

Isotherme Atmosphäre und chemisches Potential

Übung 41 · Lektion 8 — Entwicklungsrichtung, Gleichgewicht und Stabilität

chemisches Potential
Atmosphäre
barometrische Höhenformel
Schwerkraft
ideales Gas

Aufgabenstellung

Für ein Mol Luft in der Höhe $z$ ist das verallgemeinerte chemische Potential

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z

gegeben, wobei $M$ die molare Masse der Luft ist. Die Atmosphäre wird als isotherm angenommen.

Erklären Sie, warum $μ$ im Gleichgewicht unabhängig von $z$ sein muss.
Leiten Sie daraus die Differentialgleichung für $P (z)$ und anschließend die barometrische Höhenformel her.
Schätzen Sie $P (h) / P (0)$ für $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ und $g = 9, 81 m s^{- 2}$ ab.
Nennen Sie eine wichtige Grenze dieses Modells.

Hinweis

Im Gleichgewicht darf die Verlagerung einer kleinen Stoffmenge von einer Höhe in eine andere die freie Energie in erster Ordnung nicht ändern.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Wäre

μ

in einer Höhe größer als in einer anderen, so würde ein Materietransport in den Bereich niedrigeren Potentials die freie Energie verringern. Das Gleichgewicht erzwingt daher

d μ = 0

. 2. Bei konstanter Temperatur gilt

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Somit ist $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Integration von $0$ bis $z$ ergibt

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

also

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. Die molare Masse beträgt in SI-Einheiten $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . Der Exponent ist

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Daher ist $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. Die tatsächliche Temperatur der Atmosphäre ändert sich mit der Höhe. Das isotherme Modell liefert eine nützliche Größenordnung, aber kein genaues Profil; außerdem vernachlässigt es die Luftfeuchte und die Änderung der Zusammensetzung.