Gelöste Thermodynamikaufgabe

Eine Maxwell-Relation auf einer Adiabate nachprüfen

Übung 35 · Lektion 7 — Mathematische Struktur: die fundamentalen Beziehungen

Maxwell-Relation
ideales Gas
Adiabate
molare Wärmekapazität
partielle Ableitungen

Aufgabenstellung

Für ein geschlossenes System fester Zusammensetzung gilt

d U = T d S - P d V .

Wir betrachten ein ideales Gas mit konstanter molarer Wärmekapazität $c_{V}$ und setzen $γ = c_{P} / c_{V}$ , wobei $c_{P} - c_{V} = R$ .

Leiten Sie aus dem Differential von $U (S, V)$ die Maxwell-Relation $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V}$ her.
Berechnen Sie die linke Seite ausgehend von $T V^{γ - 1} = const$ .
Berechnen Sie getrennt davon die rechte Seite mithilfe von $P = n R T / V$ und $d S = n c_{V} d T / T$ bei konstantem Volumen.
Prüfen Sie nach, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.

Hinweis

Identifizieren Sie in Frage 1

T = (\partial U / \partial S)_{V}

und

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

und vertauschen Sie dann die Reihenfolge der Ableitungen.

Ausführliche Lösung

Lösung

1. Die natürlichen Variablen von

U

sind

S

und

V

. Daher gilt

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Da die gemischten Ableitungen von $U$ gleich sind, folgt

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Auf einer reversiblen Adiabate gilt $T V^{γ - 1} = K$ . Differenzieren bei konstanter Entropie ergibt

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Nach Division durch $V^{γ - 1} d V$ erhält man

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Bei konstantem Volumen ist $P = n R T / V$ , also

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Bei konstantem Volumen gilt aber $d S = n c_{V} d T / T$ , woraus $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ folgt. Somit

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Die Mayer-Beziehung liefert $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Die rechte Seite ist daher $- (γ - 1) T / V$ , genau wie die linke Seite.