Gelöste Thermodynamikaufgabe

Das Photonengas im Universum

Übung 39 · Lektion 7 — Mathematische Struktur: die fundamentalen Beziehungen

Photonengas
Strahlung
kosmische Hintergrundstrahlung
Fundamentalrelation
adiabatische Expansion
homogene Funktion
verschwindendes chemisches Potential

Aufgabenstellung

In den ersten Augenblicken des Universums ist die Materie ein heißes Plasma aus Kernen, Elektronen und Photonen. Bei etwa $T_{i} \approx 3000 K$ bilden sich die ersten Atome, und die Photonen werden frei. Wir nehmen an, dass das Photonengas in diesem Moment bei der Temperatur $T_{i}$ im Gleichgewicht ist und im Zuge der Expansion des Universums anschließend eine reversible adiabatische Expansion erfährt. Seine Fundamentalrelation sei

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

wobei $a$ eine positive dimensionsbehaftete Konstante ist. Die Entropie hängt nicht von der Anzahl $N$ der Photonen ab: Diese Anzahl ist nicht erhalten.

Geben Sie die Definition einer homogenen Funktion vom Grad eins an und zeigen Sie, dass $S$ eine solche ist.
Skizzieren Sie den Verlauf von $S$ als Funktion von $U$ bei festem $V$ . Ist diese Funktion konkav? Kommentieren Sie.
Bestimmen Sie $T$ , $P$ und $μ$ aus den Ableitungen von $S$ . Zeigen Sie insbesondere, dass $U = a^{4} V T^{4}$ und $P = U / (3 V)$ gilt, und kommentieren Sie den Wert von $μ$ .
Formulieren Sie den ersten Hauptsatz für dieses Gas und wenden Sie ihn auf eine reversible adiabatische Expansion an. Leiten Sie daraus eine Beziehung zwischen $U$ und $V$ längs dieser Zustandsänderung her.
Folgern Sie daraus, dass $V T^{3}$ während der Expansion konstant bleibt.
Finden Sie dieses Ergebnis direkt wieder, ausgehend von der als Funktion von $T$ und $V$ ausgedrückten Entropie.
Das Photonengas wird heute bei $T_{f} \approx 3 K$ beobachtet: Das ist die kosmische Hintergrundstrahlung. Um welchen Faktor hat sich das Volumen des Universums seit der Emission vergrößert?

Hinweis

In der Entropiedarstellung gilt

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

und

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Für Frage 4 erfüllt eine reversible adiabatische Zustandsänderung

d S = 0

, also

d U = - P d V

: Trennen Sie die Variablen.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Eine Funktion

f

mehrerer Variablen ist homogen vom Grad eins, wenn

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

für alle

λ > 0

gilt. Hier ist

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Die Entropie des Photonengases ist also extensiv.

Frage 2. Bei festem

V

ist

S

proportional zu

U^{3/4}

. Ihre erste Ableitung,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

ist positiv: $S$ wächst mit $U$ , und die Temperatur ist positiv. Ihre zweite Ableitung,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

ist negativ: $S$ ist konkav in $U$ . Die Kurve beginnt im Ursprung mit einer senkrechten Tangente und krümmt sich dann, wobei sie oberhalb ihrer Sehnen bleibt. Diese Konkavität spiegelt die Stabilität des Gleichgewichts des Photonengases wider.

Frage 3. Nach Frage 2 gilt

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Die Ableitung nach $V$ bei festem $U$ ist

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Nun ist $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , also

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Da $S$ nicht von $N$ abhängt, ist schließlich $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Das chemische Potential der Photonen verschwindet: Da ihre Anzahl nicht erhalten ist, stellt sie sich im Gleichgewicht frei ein, und ein weiteres Photon hinzuzufügen kostet nichts.

Frage 4. Da der Term

μ d N

verschwindet, lautet die differentielle Fundamentalrelation

d U = T d S - P d V

. Für eine reversible adiabatische Expansion ist

d S = 0

, also mit

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Integration zwischen dem Anfangszustand und einem beliebigen Zustand der Expansion ergibt $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , also

U V^{1/3} = const .

Frage 5. Wir ersetzen $U$ durch $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Da $a$ konstant ist, ist $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ konstant, also auch $V^{1/3} T$ ; durch Potenzieren mit drei folgt $V T^{3} = const$ .

Frage 6. Wir drücken

S

durch

T

und

V

aus, indem wir

U

durch

a^{4} V T^{4}

ersetzen:

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Eine reversible adiabatische Expansion ist isentrop: $S$ ist konstant, also auch $V T^{3}$ . Man findet das Ergebnis aus Frage 5 direkt wieder.

Frage 7. Da

V T^{3}

erhalten bleibt, gilt

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Das Volumen des Universums hat sich seit der Emission um den Faktor eine Milliarde vergrößert, was einem Faktor $1 0^{3}$ bei den Abständen entspricht. Die bei etwa $3000 K$ emittierte und durch die Expansion abgekühlte Strahlung ist die heute bei $2, 7 K$ gemessene kosmische Hintergrundstrahlung.