Arbeit einer polytropen Zustandsänderung $PV^k=\text{konst.}$

Frage 1. Die polytrope Beziehung lautet

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Mit der Bankierkonvention ist die vom Gas aufgenommene Arbeit

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Für $k\neq1$ ist eine Stammfunktion von $V^{-k}$ gleich $V^{1-k}/(1-k)$. Somit

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Nun gilt

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Schließlich ergibt sich

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Frage 2. Für $k=0$ wird aus der Beziehung $PV^0=C$ $P=C$: Die Zustandsänderung ist isobar. Da $P_A=P_B=P$ gilt,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Damit erhält man den direkten Ausdruck für die isobare Arbeit zurück.

Frage 3. Bei einer isochoren Zustandsänderung gilt $V_B=V_A$ und zu jedem Zeitpunkt $\mathrm{d}V=0$. Folglich

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Eine nichttriviale isochore Zustandsänderung entspricht keinem endlichen Wert von $k$: Ist $V$ konstant, würde die Beziehung $PV^k=\text{konst.}$ auch einen konstanten Druck $P$ verlangen. Die Isochore lässt sich lediglich als formaler Grenzfall $k\to\infty$ auffassen.

Frage 4. Für $k=1$ ist der Integrand proportional zu $1/V$: Die Stammfunktion ist nun keine Potenz mehr, sondern ein Logarithmus. Die Integration muss daher separat durchgeführt werden. Die polytrope Beziehung wird zu

$$PV=C.$$

Für ein geschlossenes ideales Gas gilt $PV=nRT$; die Temperatur ist somit konstant und $C=nRT$. Die aufgenommene Arbeit ist dann

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Bei einer Kompression ist $V_B/V_A<1$, der Logarithmus also negativ und $W_{A\to B}>0$, wie erwartet.