Gelöste Thermodynamikaufgabe

Arbeit einer polytropen Zustandsänderung $P V^{k} = konst.$

Übung 22 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

polytrope Zustandsänderung
Druckarbeit
Laplace-Gleichung

Aufgabenstellung

Betrachtet wird eine quasistatische Zustandsänderung eines idealen Gases mit $P V^{k} = konst.$ , wobei $k \in R$ und $k \neq = 1$ gilt.

Berechnen Sie $W_{A \to B}$ in Abhängigkeit von $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ und $k$ .
Leiten Sie das Ergebnis für eine isobare Zustandsänderung ( $k = 0$ ) erneut her.
Welchen Wert hat die Arbeit bei einer isochoren Zustandsänderung (ohne die vorherige Formel zu verwenden)?
Was geschieht für $k = 1$ ? Leiten Sie $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ erneut her.

Hinweis

Setzen Sie

P (V) = C V^{- k}

mit

C = P_{A} V_{A}^{k}

an, integrieren Sie und verwenden Sie anschließend

C V^{1 - k} = P V

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die polytrope Beziehung lautet

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Mit der Bankierkonvention ist die vom Gas aufgenommene Arbeit

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Für $k \neq = 1$ ist eine Stammfunktion von $V^{- k}$ gleich $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Somit

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Nun gilt

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Schließlich ergibt sich

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Frage 2. Für $k = 0$ wird aus der Beziehung $P V^{0} = C$ $P = C$ : Die Zustandsänderung ist isobar. Da $P_{A} = P_{B} = P$ gilt,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Damit erhält man den direkten Ausdruck für die isobare Arbeit zurück.

Frage 3. Bei einer isochoren Zustandsänderung gilt

V_{B} = V_{A}

und zu jedem Zeitpunkt

d V = 0

. Folglich

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Eine nichttriviale isochore Zustandsänderung entspricht keinem endlichen Wert von $k$ : Ist $V$ konstant, würde die Beziehung $P V^{k} = konst.$ auch einen konstanten Druck $P$ verlangen. Die Isochore lässt sich lediglich als formaler Grenzfall $k \to \infty$ auffassen.

Frage 4. Für

k = 1

ist der Integrand proportional zu

1/ V

: Die Stammfunktion ist nun keine Potenz mehr, sondern ein Logarithmus. Die Integration muss daher separat durchgeführt werden. Die polytrope Beziehung wird zu

P V = C .

Für ein geschlossenes ideales Gas gilt $P V = n R T$ ; die Temperatur ist somit konstant und $C = n R T$ . Die aufgenommene Arbeit ist dann

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Bei einer Kompression ist $V_{B} / V_{A} < 1$ , der Logarithmus also negativ und $W_{A \to B} > 0$ , wie erwartet.