Gelöste Thermodynamikaufgabe

Erwärmung bei konstantem Druck: Herleitung von $c_{P}$

Übung 21 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

Wärmekapazität
konstanter Druck
Mayer-Beziehung
isobare Erwärmung
ideales Gas

Aufgabenstellung

Ein Mol eines idealen Gases mit der molaren Wärmekapazität $c_{V}$ ist in einem Zylinder mit dem Anfangsvolumen $V_{0}$ eingeschlossen. Der Zylinder wird durch einen reibungsfrei beweglichen, adiabatischen Kolben verschlossen, auf den ein konstanter Außendruck $P_{0}$ wirkt. Ein im Gas befindlicher elektrischer Widerstand führt ihm quasistatisch die Wärme $Q > 0$ zu.

Fertigen Sie eine einfache Skizze des Aufbaus an. Kennzeichnen Sie das Gas, den Kolben, den Widerstand, den Außendruck $P_{0}$ und die Energieübertragungen.
Drücken Sie ohne Verwendung von Zahlenwerten die Anfangstemperatur $T_{0}$ aus und bestimmen Sie anschließend den Endzustand $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , die vom Gas aufgenommene Arbeit $W$ und seine Änderung der inneren Energie $Δ U$ .
Leiten Sie daraus die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ in Abhängigkeit von $c_{V}$ und $R$ her.
Numerische Anwendung für ein einatomiges ideales Gas: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ und $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Hinweis

Die Zustandsänderung ist isobar:

W = - P_{0} Δ V

. Für ein Mol eines idealen Gases gilt

P_{0} Δ V = R Δ T

. Setzen Sie diese Beziehungen in den ersten Hauptsatz ein.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Skizze soll das Gas in einem Zylinder zeigen, der durch einen beweglichen Kolben verschlossen ist. Ein Pfeil im Inneren des Zylinders stellt die vom Widerstand zugeführte Wärme

Q

dar. Der Außendruck

P_{0}

wirkt auf den Kolben, der sich bei der Expansion des Gases nach oben bewegt. Frage 2. Die Zustandsgleichung des Anfangszustands liefert

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

Der Druck bleibt konstant, also gilt $P_{f} = P_{0}$ . Außerdem ist $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . Der erste Hauptsatz liefert damit

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

woraus folgt

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

Der Endzustand ist somit

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Schließlich gilt

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Frage 3. Da bei konstantem Druck $Q = (c_{V} + R) Δ T$ gilt,

c_{P} = c_{V} + R .

Dies ist die Mayer-Beziehung.

Frage 4. Für ein einatomiges Gas ist

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Man erhält

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Schließlich

W = - 400 J, Δ U = 600 J .