Gelöste Thermodynamikaufgabe

Rechteckiger Kältekreisprozess?

Übung 23 · Lektion 5 — Anwendung auf das ideale Gas

thermodynamischer Kreisprozess
rechteckiger Kreisprozess
Clapeyron-Diagramm
Arbeit
Wärme
Fläche
ideales Gas
Kältekreisprozess
Kältemaschine

Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines einatomigen idealen Gases mit $U = \frac{3}{2} n R T$ , das quasistatisch den rechteckigen Kreisprozess gegen den Uhrzeigersinn durchläuft:

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

wobei $V_{2} > V_{1}$ und $P_{2} > P_{1}$ gilt. Es wird gesetzt

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Stellen Sie den Kreisprozess im Clapeyron-Diagramm $(P, V)$ dar und geben Sie die Art jedes Zweiges an.
Berechnen Sie die auf jedem der vier Zweige aufgenommene Arbeit in Abhängigkeit von $Δ V$ , wenn sich dieses ändert, und anschließend die Gesamtarbeit in Abhängigkeit von $Δ P$ und $Δ V$ . Bestimmen Sie ihren Wert erneut aus der Fläche des Rechtecks.
Drücken Sie $Δ U$ und $Q$ auf jedem Zweig in Abhängigkeit von $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ und $Δ V$ aus. Verwenden Sie dabei $Δ P$ auf den Isochoren und $Δ V$ auf den Isobaren.
Überprüfen Sie, dass $Δ U_{cycle} = 0$ und $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ gilt. Handelt es sich um einen Kraftmaschinenprozess oder um einen arbeitsaufnehmenden Kreisprozess? Auf welchen Zweigen nimmt das Gas Wärme auf und auf welchen gibt es Wärme ab? Zeigen Sie, dass die insgesamt vom Gas abgegebene Wärme $Q_{out} > 0$ gleich der insgesamt aufgenommenen Wärme $Q_{in} > 0$ zuzüglich der aufgenommenen Arbeit $W_{cycle}$ ist.
Drücken Sie die Temperaturen $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ und $T_{D}$ der vier Eckpunkte aus. Welche ist die niedrigste, welche die höchste? Wie ändert sich die Temperatur des Gases entlang jedes Zweiges? Zwischen welchen Temperaturen nimmt das Gas Wärme auf, und zwischen welchen gibt es Wärme ab?
Man möchte diesen Kreisprozess als Kühlschrank nutzen: Wärme aus einem kalten Innenraum entnehmen und an die wärmere Raumluft abgeben. Damit ein Körper Wärme aufnimmt, muss die Quelle, mit der er in Kontakt steht, wärmer sein als er. Welche Temperaturen müssen die Quellen haben, die dem Gas Wärme zuführen, und welche die Quellen, die Wärme von ihm aufnehmen? Kann dieser Kreisprozess als Kühlschrank arbeiten?
Numerische Anwendung: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L und $V_{2} = 15, 0$ L. Berechnen Sie $W$ und $Q$ auf jedem Zweig, dann $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ und $Q_{out}$ . Berechnen Sie schließlich die Verhältnisse $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ und $T_{D} / T_{A}$ und ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Hinweis

Auf einer Isochore gilt

n R Δ T = V Δ P

, und die Arbeit ist null. Auf einer Isobare gilt

n R Δ T = P Δ V

und

W = - P Δ V

. Jede Zustandsfunktion nimmt am Ende eines Kreisprozesses wieder ihren Anfangswert an.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Punkte

A

B

C

und

D

liegen jeweils unten links, unten rechts, oben rechts und oben links. Die Zweige

A \to B

und

C \to D

sind isobar;

B \to C

und

D \to A

sind isochor. Der Weg

A \to B \to C \to D \to A

wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Abbildung 1. Der rechteckige Kreisprozess aus Isobaren und Isochoren im Clapeyron-Diagramm.

Frage 2. Die vom Gas aufgenommene Arbeit ist

W = - \int P_{ext} d V .

Auf den Isochoren $B \to C$ und $D \to A$ ist sie null. Auf den beiden Isobaren gilt

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Somit

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Dieser Wert entspricht der Fläche des Rechtecks im Clapeyron-Diagramm.

Frage 3. Für das einatomige ideale Gas gilt

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Auf einer Isobare liefert die Zustandsgleichung $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Folglich

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Auf einer Isochore liefert sie $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , somit

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Schließlich führt der erste Hauptsatz $Δ U = Q + W$ , also $Q = Δ U - W$ , zu folgender Übersicht:

Zweig A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Frage 4. Die Änderungen der inneren Energie summieren sich zu null, wie bei jeder Zustandsfunktion über einen Kreisprozess. Der erste Hauptsatz liefert daher

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Das Gas nimmt insgesamt Arbeit auf: Der Kreisprozess ist arbeitsaufnehmend. Laut Tabelle nimmt es auf $A \to B$ und $B \to C$ Wärme auf und gibt auf $C \to D$ und $D \to A$ Wärme ab:

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Durch Subtraktion erhält man mit $P_{2} - P_{1} = Δ P$ und $V_{2} - V_{1} = Δ V$

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

also

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Über einen Kreisprozess gibt das Gas die gesamte aufgenommene Energie, Wärme und Arbeit zusammen, als Wärme wieder ab.

Frage 5. Die Zustandsgleichung liefert

T = P V / (n R)

in jedem Eckpunkt:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Wegen $P_{1} < P_{2}$ und $V_{1} < V_{2}$ ist das Produkt $P V$ in $A$ am kleinsten und in $C$ am größten: $T_{A}$ ist die niedrigste Temperatur des Kreisprozesses, $T_{C}$ die höchste, und $T_{B}$ , $T_{D}$ liegen dazwischen.

Auf der Isobaren

A \to B

wächst

V

bei konstantem Druck, also steigt

T

von

T_{A}

auf

T_{B}

. Auf der Isochoren

B \to C

wächst

P

bei konstantem Volumen, also steigt

T

von

T_{B}

auf

T_{C}

. Ebenso sinkt

T

auf

C \to D

von

T_{C}

auf

T_{D}

und dann auf

D \to A

von

T_{D}

auf

T_{A}

. Das Gas nimmt also Wärme auf, während seine Temperatur vom niedrigsten Wert

T_{A}

bis zum höchsten Wert

T_{C}

steigt, und gibt Wärme ab, während sie von

T_{C}

wieder auf

T_{A}

sinkt. Frage 6. Um Wärme aufzunehmen, muss das Gas mit Quellen in Kontakt stehen, die mindestens so warm sind wie es selbst; im quasistatischen Grenzfall folgt ihre Temperatur der des Gases. Die Quellen, die dem Gas Wärme zuführen, haben daher Temperaturen von

T_{A}

bis hinauf zu

T_{C}

, der höchsten Temperatur des Kreisprozesses. Umgekehrt haben die Quellen, die seine Wärme aufnehmen, Temperaturen von

T_{C}

bis hinunter zu

T_{A}

, der niedrigsten Temperatur des Kreisprozesses. Es gibt also keine getrennte kalte und warme Seite: Das Gas entnimmt Wärme aus sehr heißen Quellen und gibt Wärme an sehr kalte ab. Dieser Kreisprozess kann nicht als Kühlschrank dienen, der Wärme bei den niedrigsten Temperaturen entnehmen und bei den höchsten abgeben muss. Er nimmt Arbeit auf und gibt sie vollständig als Wärme wieder ab (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), wobei er Wärme zwischen Quellen verschiedener Temperaturen umverteilt. Ein Kühlschrank muss im Gegenteil Wärme in den kältesten Abschnitten seines Kreisprozesses aufnehmen und in den wärmsten abgeben. Das ist beim rückwärts durchlaufenen Carnot-Prozess der Fall, der in Lektion 6 untersucht wird: Das Gas nimmt dort Wärme längs der kalten Isotherme auf und gibt sie längs der heißen Isotherme ab. Dass ein Kreisprozess Arbeit aufnimmt, reicht also nicht aus, damit er ein Kältekreisprozess ist. Frage 7. Hier sind

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa und

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Zweig A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Somit gilt $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ und $Δ U_{cycle} = 0$ . Die aufgenommene Wärme beträgt $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ , die abgegebene Wärme $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Die Temperaturverhältnisse hängen nicht von $n$ ab:

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Wäre die niedrigste Temperatur des Kreisprozesses die eines kalten Innenraums, etwa $T_{A} = 270 K$ , so müsste das Gas Wärme aus Quellen bis hinauf zu $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ aufnehmen. Ein solcher Kreisprozess kühlt den Innenraum offensichtlich nicht.