Aufgabenstellung

Betrachtet werden $n$ Mol eines einatomigen idealen Gases mit $U=\frac{3}{2}nRT$ , das quasistatisch den rechteckigen Kreisprozess gegen den Uhrzeigersinn durchläuft:

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

wobei $V_2>V_1$ und $P_2>P_1$ gilt. Es wird gesetzt

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Dieser Kältekreisprozess dient als Modell einer Kältemaschine. Seine Leistungszahl (COP) ist definiert durch

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

wobei $Q_f>0$ die gesamte Wärme ist, die das Gas auf den Zweigen entzieht, auf denen es Wärme aufnimmt, und $W_{\mathrm{cycle}}>0$ die von ihm aufgenommene Nettoarbeit.

Stellen Sie den Kreisprozess im Clapeyron-Diagramm $(P,V)$ dar und geben Sie die Art jedes Zweiges an.
Berechnen Sie die auf jedem der vier Zweige aufgenommene Arbeit in Abhängigkeit von $\Delta V$ , wenn sich dieses ändert, und anschließend die Gesamtarbeit in Abhängigkeit von $\Delta P$ und $\Delta V$ . Bestimmen Sie ihren Wert erneut aus der Fläche des Rechtecks.
Drücken Sie $\Delta U$ und $Q$ auf jedem Zweig in Abhängigkeit von $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ und $\Delta V$ aus. Verwenden Sie dabei $\Delta P$ auf den Isochoren und $\Delta V$ auf den Isobaren.
Überprüfen Sie, dass $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ und $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ gilt. Handelt es sich um einen Kraft- oder einen Kältekreisprozess? Auf welchen Zweigen nimmt das Gas Wärme auf und auf welchen gibt es Wärme ab? Deuten Sie diese Austauschvorgänge, indem Sie die kalten und heißen Wärmereservoire benennen: Was wird hier gekühlt?
Leiten Sie daraus die Leistungszahl des Kältekreisprozesses in Abhängigkeit von $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ und $V_2$ her.
Deuten Sie die Leistungszahl physikalisch. Warum kann sie im Gegensatz zum Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine größer als 1 sein?
Numerische Anwendung: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L und $V_2=15{,}0$ L. Geben Sie $W$ und $Q$ auf jedem Zweig und anschließend ihre Bilanzen für den Kreisprozess sowie die Leistungszahl an.

Hinweis

Auf einer Isochore gilt

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

, und die Arbeit ist null. Auf einer Isobare gilt

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

und

W=-P\Delta V

. Jede Zustandsfunktion nimmt am Ende eines Kreisprozesses wieder ihren Anfangswert an.

Ausführliche Lösung

Lösung

Frage 1. Die Punkte

A

,

B

,

C

und

D

liegen jeweils unten links, unten rechts, oben rechts und oben links. Die Zweige

A\to B

und

C\to D

sind isobar;

B\to C

und

D\to A

sind isochor. Der Weg

A\to B\to C\to D\to A

wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Abbildung 1. Der rechteckige Kreisprozess aus Isobaren und Isochoren im Clapeyron-Diagramm.

Frage 2. Die vom Gas aufgenommene Arbeit ist

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Auf den Isochoren $B\to C$ und $D\to A$ ist sie null. Auf den beiden Isobaren gilt

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Somit

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Dieser Wert entspricht der Fläche des Rechtecks im Clapeyron-Diagramm.

Frage 3. Für das einatomige ideale Gas gilt

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Auf einer Isobare liefert die Zustandsgleichung $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Folglich

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Auf einer Isochore liefert sie $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , somit

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Schließlich führt der erste Hauptsatz $\Delta U=Q+W$ , also $Q=\Delta U-W$ , zu folgender Übersicht:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Zweig} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Frage 4. Die Summe der Änderungen der inneren Energie ist null. Der erste Hauptsatz verlangt daher

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Das Gas nimmt insgesamt Arbeit auf: Der Kreisprozess ist ein Kältekreisprozess. Auf $A\to B$ und $B\to C$ nimmt es Wärme auf. Auf diesen beiden Zweigen entzieht es den kalten Wärmereservoiren, mit denen es in Kontakt gebracht wird, Wärme. Gekühlt werden somit diese äußeren Reservoiren, beispielsweise der Innenraum und die Lebensmittel eines Kühlschranks, und nicht das zyklisch arbeitende Gas selbst.

Auf $C\to D$ und $D\to A$ gibt das Gas dagegen Wärme an die heißen Wärmereservoire ab, beispielsweise an die Raumluft. Bezeichnet $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ die von diesen Reservoiren insgesamt aufgenommene Wärme, so gilt

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Der Kreisprozess überträgt somit mithilfe der aufgenommenen Arbeit Wärme von den kalten zu den heißen Wärmereservoiren.

Frage 5. Die vom Gas entzogene Wärme ist

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Daraus folgt

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Frage 6. Die Leistungszahl misst den erzielten Kältenutzen im Verhältnis zur eingesetzten Arbeit: Eine Leistungszahl von $k$ bedeutet, dass mit jedem zugeführten Joule Arbeit den kalten Wärmereservoiren $k$ Joule Wärme entzogen werden können.

Im Gegensatz zum Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine ist die Leistungszahl nicht der Anteil einer aufgenommenen Energie, der in Arbeit umgewandelt wird. Das Gas nimmt sowohl die Arbeit $W_{\mathrm{in}}$ als auch die den kalten Wärmereservoiren entzogene Wärme $Q_f$ auf und gibt anschließend deren Summe an die heißen Wärmereservoire ab:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Es gibt daher keinen Grund, weshalb $Q_f$ kleiner als $W_{\mathrm{in}}$ sein müsste, und die Leistungszahl kann ohne Widerspruch zur Energieerhaltung durchaus größer als 1 sein.

Frage 7. Hier sind $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa und $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Zweig} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Somit gilt $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J und $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . Die entzogene Wärme beträgt

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

Für die an die heißen Wärmereservoire abgegebene Wärme gilt dagegen

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Die Leistungszahl des Kältekreisprozesses ist somit

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.