热力学习题详解

通过两条路径连接两状态时的功和热

习题 11 · 课程 5 — 理想气体的应用

  • 压强力的功
  • 热
  • 等温过程
  • 等容过程
  • 克拉佩龙图
  • 恰当微分
  • 理想气体

题目

考虑 nn 摩尔单原子理想气体，其内能为 U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT。通过两条准静态路径将状态 A(T1,V1)A(T_1,V_1) 连接到状态 B(T2,V2)B(T_2,V_2)， 且每一时刻都有 Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P：

  • Γ1\Gamma_1：先在 T1T_1 下从 V1V_1 到 V2V_2 等温膨胀， 再在 V2V_2 下从 T1T_1 到 T2T_2 等容变化；
  • Γ2\Gamma_2：先在 V1V_1 下从 T1T_1 到 T2T_2 等容变化， 再在 T2T_2 下从 V1V_1 到 V2V_2 等温膨胀。

  1. 当 T2>T1T_2>T_1 且 V2>V1V_2>V_1 时，在克拉佩龙图 (P,V)(P,V) 中表示路径 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2。标出中间状态和过程方向。
  2. 计算沿两条路径气体获得的功 W1W_1 和 W2W_2。它们的差 W1−W2W_1-W_2 等于多少？
  3. 不再分别计算两个积分，根据克拉佩龙图中两条路径之间的面积，从几何上重新求出 W1−W2W_1-W_2。
  4. 计算两条路径各自的 ΔU\Delta U，进而求出 Q1Q_1 和 Q2Q_2。说明 δQ\delta Q 的性质。
  5. 数值应用：n=1n=1 mol，T1=300T_1=300 K，T2=600T_2=600 K，且 V2=2V1V_2=2V_1。

提示
在克拉佩龙图中，等容线是竖直线，理想气体的等温线满足 P=nRT/VP=nRT/V。温度为 T2T_2 的等温线位于温度为 T1T_1 的等温线上方。 等容过程对压强力的功没有贡献。 对于问题 3，气体获得的功等于 (P,V)(P,V) 图中路径下方代数面积的相反数。

详细解答

解答
问题 1。 将路径 Γ1\Gamma_1 的中间状态记为 CC， 路径 Γ2\Gamma_2 的中间状态记为 DD。它们的压强和体积为

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

由于 T2>T1T_2>T_1，T2T_2 等温线位于 T1T_1 等温线上方。 路径 Γ1\Gamma_1 从 AA 沿较低的 T1T_1 等温线向右到 CC， 再沿等容线 V2V_2 从 CC 竖直上升到 BB。路径 Γ2\Gamma_2 先沿 等容线 V1V_1 从 AA 竖直上升到 DD，再沿较高的 T2T_2 等温线 从 DD 向右到 BB。因此两条路径的箭头为

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
克拉佩龙图中的路径 _1 和 _2。灰色曲线为 T_1 和 T_2 等温线的延伸部分。
图 1. 克拉佩龙图中的路径 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2。灰色曲线为 T1T_1 和 T2T_2 等温线的延伸部分。

问题 2。 采用气体获得功的符号约定， δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V。等容过程没有贡献；在温度为 TT 的 等温线上，

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

因此

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

进而

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

初态和终态相同，但功不同：δW\delta W 不是恰当微分。

问题 3。 等容过程不扫过任何面积。由于气体获得的功 等于曲线下方面积的相反数，W1−W2W_1-W_2 就是 等温线 T2T_2 与 T1T_1 之间的面积：

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

这与问题 2 的结果一致。

问题 4。 单原子理想气体的内能仅取决于温度， 因此沿两条路径的内能变化相同：

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

第一定律 ΔU=W+Q\Delta U=W+Q 给出 Q=ΔU−WQ=\Delta U-W，从而

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

因此

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

交换的热量也依赖于路径：与 dU\mathrm{d}U 不同，δQ\delta Q 不是恰当微分。

问题 5。 取 ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693，

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

气体沿 Γ2\Gamma_2 对外做的功是另一条路径 的两倍，并吸收相应多出的热量。