热力学习题详解

三角循环

习题 20 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

考虑 $n$ 摩尔理想气体，其摩尔定容热容 $c_{V}$ 恒定，经历准静态循环 $A \to B \to C \to A$ ，其中

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

$A \to B$ 支路为等容过程， $B \to C$ 支路在 $(P, V)$ 平面内为一条直线段， $C \to A$ 支路为等压过程。

对于动力循环，效率定义为

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

其中 $Q_{in}$ 为循环过程中气体吸收的所有满足 $δ Q > 0$ 的元热量传递之和。

在克拉佩龙图中表示该循环并说明其运行方向。它是动力循环还是制冷循环？
确定连接 $B$ 与 $C$ 的直线方程 $P (V)$ 。
令 $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ ，确定温度 $T_{A}$ 、 $T_{B}$ 和 $T_{C}$ 。为什么尽管该支路并非等温过程， $Δ U_{B \to C}$ 仍为零？
计算三条支路以及完整循环中气体获得的功。再根据三角形面积求出总功的绝对值。
仅用 $P_{0}$ 、 $V_{0}$ 和 $c_{V}$ 表示每条支路上的 $Δ U$ 和 $Q$ ，再验证 $Δ U_{cycle} = 0$ 和 $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ 。
令 $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ 且 $x = V / V_{0}$ 。证明 $δ Q$ 的符号在 $B \to C$ 支路上的某一点发生改变。由此求出 $Q_{in}$ ，再求该循环的效率 $η$ 。对于 $c_{V} = \frac{3}{2} R$ 的单原子理想气体，给出其数值。

提示

在

B \to C

上，令

P (V) = aV + b

，并要求直线通过

B

和

C

。计算内能变化时，只需知道支路两端的温度。对于问题 6，使用微分形式的第一定律。

解答

问题 1–2。循环按顺时针方向运行，是动力循环。直线

B \to C

的方程为

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

问题 3。状态方程给出

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

温度沿 $B \to C$ 发生变化，但在两个端点恢复为相同值。固定物质的量时，理想气体的内能仅取决于温度，因此 $Δ U_{B \to C} = 0$ 。

问题 4。气体获得的功为

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

因此

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

其符号为负：气体在循环中对外做功。其绝对值确实等于该三角形的面积；三角形的底为 $V_{0}$ 、高为 $P_{0}$ ，面积公式为 $A = \frac{1}{2} 底 \times 高$ 。

问题 5。由于

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

，

支路 A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

将三条支路相加，得到

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

问题 6。令 $a = c_{V} / R$ 、 $x = V / V_{0}$ 。在支路 $B \to C$ 上， $P = P_{0} (3 - x)$ 且 $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ 。第一定律给出

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

该元热量在下式所示位置为零：

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

当 $a > 1$ 时，有 $1 < x_{⋆} < 2$ ：气体从 $B$ 到横坐标为 $x_{⋆}$ 的点吸收热量，随后直到 $C$ 均释放热量。在 $A \to B$ 上，气体还吸收热量 $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ 。因此

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

所以效率为

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

对于单原子理想气体， $a = \frac{3}{2}$ ，故

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.