热力学习题详解

课程练习：拉普拉斯定律

习题 10 · 课程 5 — 理想气体的应用

  • 课程练习
  • 拉普拉斯定律
  • 绝热指数
  • gamma
  • 绝热膨胀
  • 第一定律的微分形式

题目

考虑 nn 摩尔绝热指数 γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V 为常数的理想气体。假设系统封闭。 已知迈耶关系 cP−cV=Rc_P - c_V = R（见探索 cPc_P 的习题）。

  1. 证明 cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. 气体经历准静态绝热过程，并假设 Pext=PP_{\text{ext}} = P。从微分形式的第一定律出发，证明 dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, 进而推导出沿该过程有 TVγ−1=常数TV^{\gamma-1} = \text{常数}。
  3. 推导拉普拉斯定律的另外两种形式：PVγ=常数PV^\gamma = \text{常数} 和 TγP1−γ=常数T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{常数}。
  4. 某单原子气体（γ=5/3\gamma = 5/3）发生上述膨胀，体积增大一倍；气体物质的量为 n=1n = 1 mol，初温为 Ti=300T_i = 300 K。计算 TfT_f，再计算 ΔT\Delta T 和 WW，并说明 ΔT\Delta T 与 WW 的符号。
  5. 在克拉佩龙图 (P,V)(P,V) 中，比较同一点处该绝热线与等温线的斜率。

提示
对于问题 2：dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T，且 δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V，其中 P=nRT/VP = nRT/V，然后分离变量。对于问题 5，分别对 PVγ=常数PV^\gamma = \text{常数} 和 PV=常数PV = \text{常数} 求微分。

详细解答

解答
问题 1。 由 cP=γcVc_P = \gamma c_V 和 cP−cV=Rc_P - c_V = R，得到 cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R，从而得到两个公式。

问题 2。 绝热过程满足 δQ=0\delta Q = 0，故 dU=δW\mathrm{d}U = \delta W，即 ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V。代入 cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1)：

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

积分得：ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=常数\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{常数}，即 TVγ−1=常数TV^{\gamma-1} = \text{常数}。

问题 3。 代入 T=PV/(nR)T = PV/(nR)，由于 nn 恒定，得到 PVγ=常数PV^\gamma = \text{常数}。 代入 V=nRT/PV = nRT/P，得到 T(TP)γ−1=常数T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{常数}，进而有 TγP1−γ=常数T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{常数}。

问题 4。 最简便的方法是使用拉普拉斯定律 TVγ−1=常数T V^{\gamma - 1} = \text{常数}，由此得到：TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}，即 Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K。 需要注意的是，此处必须使用开尔文温标，以免出错！ 由此得到 ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K。 对于功，由于 Q=0Q = 0：

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0：膨胀过程中气体对外做功。 由于无法从任何热库吸收热量（Q=0Q=0），气体只能消耗自身内能，因此温度降低，即 ΔT<0\Delta T < 0。

问题 5。 对 PV=常数PV = \text{常数} 求微分：(dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}。对 PVγ=常数PV^\gamma = \text{常数} 求微分：(dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}。绝热线的斜率大小是等温线的 γ\gamma 倍：压缩时若不排出热量，压强上升得更快，因为温度也会升高。