热力学习题详解

课程练习：拉普拉斯定律

习题 18 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

考虑 $n$ 摩尔绝热指数 $γ = c_{P} / c_{V}$ 为常数的理想气体。假设系统封闭。已知迈耶关系 $c_{P} - c_{V} = R$ （见探索 $c_{P}$ 的习题）。

证明 $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
气体经历准静态绝热过程，并假设 $P_{ext} = P$ 。从微分形式的第一定律出发，证明 $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ 进而推导出沿该过程有 $T V^{γ - 1} = 常数$ 。
推导拉普拉斯定律的另外两种形式： $P V^{γ} = 常数$ 和 $T^{γ} P^{1 - γ} = 常数$ 。
某单原子气体（ $γ = 5/3$ ）发生上述膨胀，体积增大一倍；气体物质的量为 $n = 1$ mol，初温为 $T_{i} = 300$ K。计算 $T_{f}$ ，再计算 $Δ T$ 和 $W$ ，并说明 $Δ T$ 与 $W$ 的符号。
在克拉佩龙图 $(P, V)$ 中，比较同一点处该绝热线与等温线的斜率。

提示

对于问题 2：

d U = n c_{V} d T

，且

δ W = - P d V

，其中

P = n R T / V

，然后分离变量。对于问题 5，分别对

P V^{γ} = 常数

和

P V = 常数

求微分。

解答

问题 1。由

c_{P} = γ c_{V}

和

c_{P} - c_{V} = R

，得到

c_{V} (γ - 1) = R

，从而得到两个公式。问题 2。绝热过程满足

δ Q = 0

，故

d U = δ W

，即

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

。代入

c_{V} = R / (γ - 1)

：

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

积分得： $ln T + (γ - 1) ln V = 常数$ ，即 $T V^{γ - 1} = 常数$ 。

问题 3。代入

T = P V / (n R)

，由于

n

恒定，得到

P V^{γ} = 常数

。代入

V = n R T / P

，得到

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = 常数

，进而有

T^{γ} P^{1 - γ} = 常数

。问题 4。最简便的方法是使用拉普拉斯定律

T V^{γ - 1} = 常数

，由此得到：

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

，即

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K。需要注意的是，此处必须使用开尔文温标，以免出错！由此得到

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K。对于功，由于

Q = 0

：

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ ：膨胀过程中气体对外做功。由于无法从任何热库吸收热量（ $Q = 0$ ），气体只能消耗自身内能，因此温度降低，即 $Δ T < 0$ 。

问题 5。对

P V = 常数

求微分：

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

。对

P V^{γ} = 常数

求微分：

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

。绝热线的斜率大小是等温线的

γ

倍：压缩时若不排出热量，压强上升得更快，因为温度也会升高。