多方过程 $PV^k=\text{常数}$ 的功

问题 1。 多方关系可写为

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

采用银行家符号约定，气体获得的功为

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

当 $k\neq1$ 时，$V^{-k}$ 的一个原函数为 $V^{1-k}/(1-k)$。因此

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

而

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

最终得到

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

问题 2。 当 $k=0$ 时，关系 $PV^0=C$ 变为 $P=C$：该过程为等压过程。由于 $P_A=P_B=P$，

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

这与等压功的直接表达式一致。

问题 3。 对于等容过程， $V_B=V_A$，且每一时刻都有 $\mathrm{d}V=0$。因此

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

非平凡的等容过程不对应 $k$ 的任何有限值：若 $V$ 恒定，关系 $PV^k=\text{常数}$ 也会要求 $P$ 恒定。 等容过程只能视为 $k\to\infty$ 的形式极限。

问题 4。 当 $k=1$ 时，被积函数正比于 $1/V$： 其原函数不再是幂函数，而是对数。因此必须 另行积分。多方关系变为

$$PV=C.$$

对于封闭的理想气体，$PV=nRT$；因此温度恒定， 且 $C=nRT$。气体获得的功为

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

对于压缩过程，$V_B/V_A<1$，故对数为负， $W_{A\to B}>0$，符合预期。