热力学习题详解

多方过程 $P V^{k} = 常数$ 的功

习题 22 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

考虑理想气体满足 $P V^{k} = 常数$ 的准静态过程，其中 $k \in R$ 且 $k \neq = 1$ 。

提示

令

P (V) = C V^{- k}

，其中

C = P_{A} V_{A}^{k}

，进行积分，再使用

C V^{1 - k} = P V

。

解答

问题 1。多方关系可写为

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

采用银行家符号约定，气体获得的功为

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

当 $k \neq = 1$ 时， $V^{- k}$ 的一个原函数为 $V^{1 - k} / (1 - k)$ 。因此

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

而

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

最终得到

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

问题 2。当 $k = 0$ 时，关系 $P V^{0} = C$ 变为 $P = C$ ：该过程为等压过程。由于 $P_{A} = P_{B} = P$ ，

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

这与等压功的直接表达式一致。

问题 3。对于等容过程，

V_{B} = V_{A}

，且每一时刻都有

d V = 0

。因此

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

非平凡的等容过程不对应 $k$ 的任何有限值：若 $V$ 恒定，关系 $P V^{k} = 常数$ 也会要求 $P$ 恒定。等容过程只能视为 $k \to \infty$ 的形式极限。

问题 4。当

k = 1

时，被积函数正比于

1/ V

：其原函数不再是幂函数，而是对数。因此必须另行积分。多方关系变为

P V = C .

对于封闭的理想气体， $P V = n R T$ ；因此温度恒定，且 $C = n R T$ 。气体获得的功为

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

对于压缩过程， $V_{B} / V_{A} < 1$ ，故对数为负， $W_{A \to B} > 0$ ，符合预期。