热力学习题详解

恒压加热：探索 cPc_P

习题 13 · 课程 5 — 理想气体的应用

  • 热容
  • 恒压过程
  • 迈耶关系
  • 等压加热
  • 理想气体

题目

一摩尔摩尔定容热容为 cVc_V 的理想气体封闭在初始体积为 V0V_0 的 气缸内。气缸由无摩擦的可动绝热活塞封闭，活塞承受恒定外压 P0P_0。 气体内部的一个电阻以准静态方式向气体提供热量 Q>0Q>0。

  1. 画出装置的简单示意图。标明气体、活塞、 电阻、外压 P0P_0 和能量交换。
  2. 不使用数值，表示初温 T0T_0，再确定终态 (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f)、气体获得的功 WW 和 内能变化 ΔU\Delta U。
  3. 由此用 cVc_V 和 RR 表示摩尔定压热容 cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P。
  4. 单原子理想气体的数值应用： cV=32Rc_V=\frac32R，V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}， P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}，Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J}，且 R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}。

提示
该过程为等压过程：W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V。对于一摩尔理想气体， P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T。将这些关系代入第一定律。

详细解答

解答
问题 1。 示意图应画出由可动活塞封闭在气缸内的气体。 气缸内的一支箭头表示电阻提供的热量 QQ。外压 P0P_0 作用于活塞， 气体膨胀时活塞向上移动。

问题 2。 初态状态方程给出

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

压强保持恒定，因此 Pf=P0P_f=P_0。此外， W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T。于是第一定律给出

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

从而

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

因此终态为

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

最后，

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

问题 3。 由于恒压下 Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T，

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

这就是迈耶关系。

问题 4。 对于单原子气体，

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

得到

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

最后，

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.