热力学习题详解

恒压加热：探索 $c_{P}$

习题 21 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

一摩尔摩尔定容热容为 $c_{V}$ 的理想气体封闭在初始体积为 $V_{0}$ 的气缸内。气缸由无摩擦的可动绝热活塞封闭，活塞承受恒定外压 $P_{0}$ 。气体内部的一个电阻以准静态方式向气体提供热量 $Q > 0$ 。

画出装置的简单示意图。标明气体、活塞、电阻、外压 $P_{0}$ 和能量交换。
不使用数值，表示初温 $T_{0}$ ，再确定终态 $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ 、气体获得的功 $W$ 和内能变化 $Δ U$ 。
由此用 $c_{V}$ 和 $R$ 表示摩尔定压热容 $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ 。
单原子理想气体的数值应用： $c_{V} = \frac{3}{2} R$ ， $V_{0} = 25 L$ ， $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ ， $Q = 1000 J$ ，且 $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ 。

提示

该过程为等压过程：

W = - P_{0} Δ V

。对于一摩尔理想气体，

P_{0} Δ V = R Δ T

。将这些关系代入第一定律。

解答

问题 1。示意图应画出由可动活塞封闭在气缸内的气体。气缸内的一支箭头表示电阻提供的热量

Q

。外压

P_{0}

作用于活塞，气体膨胀时活塞向上移动。问题 2。初态状态方程给出

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

压强保持恒定，因此 $P_{f} = P_{0}$ 。此外， $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ 。于是第一定律给出

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

从而

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

因此终态为

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

最后，

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

问题 3。由于恒压下 $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ，

c_{P} = c_{V} + R .

这就是迈耶关系。

问题 4。对于单原子气体，

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

得到

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

最后，

W = - 400 J, Δ U = 600 J .