热力学习题详解

矩形制冷循环？

习题 23 · 课程 5 — 理想气体的应用

热力学循环
矩形循环
克拉佩龙图
功
热
面积
理想气体
制冷循环
制冷机

题目

考虑 $n$ 摩尔单原子理想气体，其内能为 $U = \frac{3}{2} n R T$ ，并沿逆时针方向准静态经历矩形循环

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

其中 $V_{2} > V_{1}$ 且 $P_{2} > P_{1}$ 。记

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

在克拉佩龙图 $(P, V)$ 中表示该循环，并说明每条支路的类型。
当 $Δ V$ 变化时，用它表示气体在四条支路上分别获得的功，再用 $Δ P$ 和 $Δ V$ 表示总功。根据矩形面积重新得到该值。
用 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $Δ P$ 和 $Δ V$ 表示每条支路上的 $Δ U$ 和 $Q$ ；在等容支路上使用 $Δ P$ ，在等压支路上使用 $Δ V$ 。
验证 $Δ U_{cycle} = 0$ 和 $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ 。该循环是动力循环还是接受功的逆循环？气体在哪些支路上吸热，在哪些支路上放热？证明气体放出的总热量 $Q_{out} > 0$ 等于它吸收的总热量 $Q_{in} > 0$ 加上所接受的功 $W_{cycle}$ 。
写出四个顶点的温度 $T_{A}$ 、 $T_{B}$ 、 $T_{C}$ 和 $T_{D}$ 。哪个最低，哪个最高？气体温度沿每条支路如何变化？气体在哪些温度之间吸热，又在哪些温度之间放热？
我们希望把这个循环用作冰箱：从冷的箱体中取出热量，并将其排放到温度更高的室内空气中。一个物体要吸收热量，与它接触的热源必须比它更热。向气体供热的热源以及从气体吸热的热源分别应具有怎样的温度？这个循环能否作为冰箱工作？
数值应用： $P_{1} = 1, 0$ bar， $P_{2} = 3, 0$ bar， $V_{1} = 5, 0$ L，且 $V_{2} = 15, 0$ L。计算每条支路上的 $W$ 和 $Q$ ，再计算 $W_{cycle}$ 、 $Q_{in}$ 和 $Q_{out}$ 。最后计算比值 $T_{B} / T_{A}$ 、 $T_{C} / T_{A}$ 和 $T_{D} / T_{A}$ ，并得出结论。

提示

在等容过程中，

n R Δ T = V Δ P

，且功为零。在等压过程中，

n R Δ T = P Δ V

，且

W = - P Δ V

。任何状态函数在循环结束时都恢复到初始值。

详细解答

解答

问题 1。点

A

、

B

、

C

和

D

分别位于左下、右下、右上和左上。支路

A \to B

和

C \to D

为等压过程；

B \to C

和

D \to A

为等容过程。路径

A \to B \to C \to D \to A

沿逆时针方向运行。

问题 2。气体获得的功为

W = - \int P_{ext} d V .

在等容支路 $B \to C$ 和 $D \to A$ 上，功为零。在两条等压支路上，

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

因此

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

该值确实等于克拉佩龙图中矩形的面积。

问题 3。对于单原子理想气体，

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

在等压过程中，状态方程给出 $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ 。因此

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

在等容过程中，状态方程给出 $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ ，故

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

最后，第一定律 $Δ U = Q + W$ ，即 $Q = Δ U - W$ ，得到汇总表：

支路 A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

问题 4。与任何状态函数一样，内能在一个循环中的变化之和为零。因此第一定律给出

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

气体总体上接受功：这是一个接受功的逆循环。由表可知，气体在 $A \to B$ 和 $B \to C$ 上吸热，在 $C \to D$ 和 $D \to A$ 上放热：

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

两式相减，并利用 $P_{2} - P_{1} = Δ P$ 和 $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ，得

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

从而

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

在一个循环中，气体以热的形式放出它所接受的全部能量，包括热量和功。

问题 5。由状态方程，每个顶点处都有

T = P V / (n R)

：

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

由于 $P_{1} < P_{2}$ 且 $V_{1} < V_{2}$ ，乘积 $P V$ 在 $A$ 处最小，在 $C$ 处最大： $T_{A}$ 是循环的最低温度， $T_{C}$ 是最高温度， $T_{B}$ 和 $T_{D}$ 介于两者之间。

在等压支路

A \to B

上，压强不变而

V

增大，因此

T

从

T_{A}

升高到

T_{B}

。在等容支路

B \to C

上，体积不变而

P

增大，因此

T

从

T_{B}

升高到

T_{C}

。同理，

T

在

C \to D

上从

T_{C}

降到

T_{D}

，再在

D \to A

上从

T_{D}

降到

T_{A}

。因此，气体在温度从最低值

T_{A}

升到最高值

T_{C}

的过程中吸热，在温度从

T_{C}

回落到

T_{A}

的过程中放热。问题 6。为了吸热，气体必须与至少和它一样热的热源接触；在准静态极限下，热源温度跟随气体温度变化。因此，向气体供热的热源温度从

T_{A}

一直分布到循环的最高温度

T_{C}

。反之，从气体吸热的热源温度从

T_{C}

一直分布到循环的最低温度

T_{A}

。所以这里不存在彼此分开的冷端和热端：气体从很热的热源取热，又向很冷的热源放热。冰箱必须在最低温度下取热、在最高温度下排热，因此这个循环不能用作冰箱。它接受功，并把功全部以热的形式交还（

Q_{cycle} = - W_{cycle}

），同时在不同温度的热源之间重新分配热量。相反，冰箱必须在其循环最冷的部分吸热，在最热的部分放热。第 6 课将要讨论的逆向运行的卡诺循环正是如此：气体沿低温等温线吸热，沿高温等温线放热。因此，一个循环接受功，并不足以使它成为制冷循环。问题 7。此处

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa，

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

：

支路 A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

因此 $W_{cycle} = + 2000 J$ ， $Q_{cycle} = - 2000 J$ ， $Δ U_{cycle} = 0$ 。吸收的热量为 $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ ，放出的热量为 $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ 。温度比与 $n$ 无关：

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

如果循环的最低温度是冷箱体的温度，例如 $T_{A} = 270 K$ ，那么气体必须从温度高达 $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ 的热源吸热。这样的循环显然不能冷却箱体。