题目

考虑 $n$ 摩尔单原子理想气体，其内能为 $U=\frac{3}{2}nRT$ ，并沿逆时针方向准静态经历矩形循环

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

其中 $V_2>V_1$ 且 $P_2>P_1$ 。记

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

将该制冷循环用作制冷机模型。其制冷性能系数（COP）定义为

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

其中 $Q_f>0$ 是气体在吸热支路上从低温热库吸收的总热量， $W_{\mathrm{cycle}}>0$ 是气体获得的净功。

在克拉佩龙图 $(P,V)$ 中表示该循环，并说明每条支路的类型。
当 $\Delta V$ 变化时，用它表示气体在四条支路上分别获得的功，再用 $\Delta P$ 和 $\Delta V$ 表示总功。根据矩形面积重新得到该值。
用 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $V_1$ 、 $V_2$ 、 $\Delta P$ 和 $\Delta V$ 表示每条支路上的 $\Delta U$ 和 $Q$ ；在等容支路上使用 $\Delta P$ ，在等压支路上使用 $\Delta V$ 。
验证 $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ 和 $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ 。该循环是动力循环还是制冷循环？气体在哪些支路上吸热，在哪些支路上放热？通过辨认低温热库和高温热库来解释这些热交换：此处被冷却的是什么？
由此用 $P_1$ 、 $P_2$ 、 $V_1$ 和 $V_2$ 表示该循环的制冷性能系数。
解释制冷性能系数的物理意义。与热机效率不同，为什么它可以大于 1？
数值应用： $P_1=1{,}0$ bar， $P_2=3{,}0$ bar， $V_1=5{,}0$ L，且 $V_2=15{,}0$ L。给出每条支路上的 $W$ 和 $Q$ ，再给出循环中的相应总量和 COP。

提示

在等容过程中，

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

，且功为零。在等压过程中，

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

，且

W=-P\Delta V

。任何状态函数在循环结束时都恢复到初始值。

详细解答

解答

问题 1。点

A

、

B

、

C

和

D

分别位于左下、右下、右上和左上。支路

A\to B

和

C\to D

为等压过程；

B\to C

和

D\to A

为等容过程。路径

A\to B\to C\to D\to A

沿逆时针方向运行。

问题 2。气体获得的功为

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

在等容支路 $B\to C$ 和 $D\to A$ 上，功为零。在两条等压支路上，

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

因此

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

该值确实等于克拉佩龙图中矩形的面积。

问题 3。对于单原子理想气体，

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

在等压过程中，状态方程给出 $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ 。因此

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

在等容过程中，状态方程给出 $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ ，故

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

最后，第一定律 $\Delta U=Q+W$ ，即 $Q=\Delta U-W$ ，得到汇总表：

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{支路} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

问题 4。内能变化之和为零。因此第一定律要求

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

气体总体上获得功：该循环为制冷循环。气体在 $A\to B$ 和 $B\to C$ 上吸热。在这两条支路上，气体从与之接触的低温热库吸收热量；因此被冷却的是这些外部热库（例如冰箱内部空间和食物），而不是循环工质本身。

在 $C\to D$ 和 $D\to A$ 上，气体则向高温热库放热，例如室内空气。用 $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ 表示这些热库吸收的总热量，

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

因此，该循环借助气体获得的功，将热量从低温热库传递到高温热库。

问题 5。气体从低温热库吸收的热量为

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

由此得到

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

问题 6。 COP 衡量相对于所投入功获得的制冷效果：COP 等于 $k$ 意味着每提供一焦耳的功，就能从低温热库吸收 $k$ 焦耳的热量。

与热机效率不同，COP 并不是吸收的能量中转化为功的比例。气体既获得功 $W_{\mathrm{in}}$ ，又从低温热库吸收热量 $Q_f$ ，随后将二者之和释放给高温热库：

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

因此， $Q_f$ 没有理由小于 $W_{\mathrm{in}}$ ；COP 完全可以大于 1，而不违反能量守恒定律。

问题 7。此处 $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa， $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ ：

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{支路} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

因此 $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J， $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J，且 $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ 。从低温热库吸收的热量为

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

而释放给高温热库的热量为

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

因此制冷性能系数为

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.