热力学习题详解

课程练习：基本过程

习题 17 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

考虑 $n$ 摩尔单原子理想气体，初始处于状态 $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ 。分别研究以下三个均从 $A$ 出发的准静态过程，其中 $T_{f} > T_{i}$ ：

采用银行家符号约定：气体获得的传递量为正。

在同一个克拉佩龙图 $(P, V)$ 中表示这三个过程，并用符号确定状态 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 。
用符号计算三个过程各自的 $W$ 、 $Δ U$ 和 $Q$ 。
说明能量传递量的符号。
数值应用： $n = 1 mol$ ， $T_{i} = 300 K$ ， $T_{f} = 500 K$ ，且 $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ 。

提示

对于单原子理想气体，

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

。使用

W = - \int P d V

和第一定律

Δ U = Q + W

。

解答

问题 1。理想气体状态方程给出

状态 A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

在 $(P, V)$ 图中， $A \to B$ 是一条竖直线， $A \to C$ 沿 $T_{i}$ 等温线向左， $A \to D$ 是一条向右的水平线。

问题 2。等容加热

A \to B

。由于

d V = 0

，

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

等温压缩 $A \to C$ 。温度恒定，因此 $Δ U_{A C} = 0$ 。此外，

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

等压加热 $A \to D$ 。在恒压下， $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ ，因此

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

问题 3。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能。在等温压缩过程中，气体获得功，并以热的形式释放完全相同的能量。在等压过程中，气体吸收热量，内能增加，同时在膨胀时对外做功。

问题 4。当

T_{f} - T_{i} = 200 K

时：

过程 等容 A \to B 等温 A \to C 等压 A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16