热力学习题详解

课程练习：基本过程

习题 9 · 课程 5 — 理想气体的应用

题目

考虑 $n$ 摩尔单原子理想气体，初始处于状态 $A(P_A,V_A,T_i)$ 。分别研究以下三个均从 $A$ 出发的准静态过程，其中 $T_f>T_i$ ：

采用银行家符号约定：气体获得的传递量为正。

在同一个克拉佩龙图 $(P,V)$ 中表示这三个过程，并用符号确定状态 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 。
用符号计算三个过程各自的 $W$ 、 $\Delta U$ 和 $Q$ 。
说明能量传递量的符号。
数值应用： $n=1\ \mathrm{mol}$ ， $T_i=300\ \mathrm{K}$ ， $T_f=500\ \mathrm{K}$ ，且 $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ 。

提示

对于单原子理想气体，

\Delta U=\frac32nR\Delta T

。使用

W=-\int P\,\mathrm{d}V

和第一定律

\Delta U=Q+W

。

解答

问题 1。理想气体状态方程给出

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{状态} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

在 $(P,V)$ 图中， $A\to B$ 是一条竖直线， $A\to C$ 沿 $T_i$ 等温线向左， $A\to D$ 是一条向右的水平线。

问题 2。

等容加热 $A\to B$ 。由于 $\mathrm{d}V=0$ ，

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

等温压缩 $A\to C$ 。温度恒定，因此 $\Delta U_{AC}=0$ 。此外，

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

等压加热 $A\to D$ 。在恒压下， $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ ，因此

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

问题 3。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能。在等温压缩过程中，气体获得功，并以热的形式释放完全相同的能量。在等压过程中，气体吸收热量，内能增加，同时在膨胀时对外做功。

问题 4。当 $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ 时：

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{过程} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{等容 }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{等温 }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{等压 }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}